Determine a carga total contida numa esfera de raio 2 m envolvendo uma densidade volumétrica de carga de 10^{-5} \mathrm{C} / \mathrm{m}^{3}.

Passo 1

O enunciado nos dá uma esfera de raio R = 2\mathrm{\,m} envolvendo uma densidade volumétrica de carga uniforme \rho = 10^{-5}\,\mathrm{C}/\mathrm{m}^3. Queremos encontrar a carga total Q contida nessa esfera usando a definição de densidade volumétrica de carga.

Passo 2

Como \rho é constante, a carga total é dada por
Q = \rho \int_{V}\mathrm{d}V = \rho\,V_{\text{esfera}}.
Portanto, basta lembrar a fórmula do volume de uma esfera para prosseguir.

Passo 3

O volume de uma esfera de raio R é
V_{\text{esfera}} = \frac{4}{3}\,\pi\,R^{3}.
Substituindo R = 2\mathrm{\,m}, vem
V_{\text{esfera}} = \frac{4}{3}\,\pi\,(2)^{3} = \frac{32}{3}\,\pi\\ \mathrm{m}^{3}.

Passo 4

Agora calculamos
Q = \rho\,V_{\text{esfera}} = 10^{-5}\,\frac{\mathrm{C}}{\mathrm{m}^{3}}\times \frac{32}{3}\,\pi\\ \mathrm{m}^{3} = \frac{32\pi}{3}\times 10^{-5}\\ \mathrm{C} \approx 3{,}35\times 10^{-4}\\ \mathrm{C}.

Resposta

Q = \frac{32\pi}{3}\times 10^{-5}\\ \mathrm{C} \approx 3{,}35\times 10^{-4}\\ \mathrm{C}.

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