Uma carga de 65 kVA com um fator de potência atrasado é adicionada a um grupo de motores síncronos de 25 kVA com fator de potência 0,6 adiantado. Sendo 0,85 atrasado o fator de potência do conjunto, determinar 0 fator de potência da carga 65 kVA .

Passo 1

Beleza, vamos lá. Temos uma carga de 65 kVA com fator de potência atrasado (vamos chamar de cos φ₁, que é o que a gente quer achar) e um grupo de motores de 25 kVA com cos φ₂ = 0,6 adiantado. Depois de juntar os dois, o fator de potência total fica cos φₜ = 0,85 (atrasado). O conteúdo que vamos usar é análise de potências – potência ativa P, reativa Q e fator de potência cos φ. Pra resolver, precisamos:
  • Entender que P = S cos φ e Q = S sin φ
  • Somar P e Q de cada equipamento
  • Usar o PF total (φₜ) para relacionar Pₜ e Qₜ e achar φ₁

Passo 2

Vamos escrever P e Q de cada parte:
  • Para a carga (65 kVA, cos φ₁ atrasado):
    P₁ = 65·cos φ₁
    Q₁ = 65·sin φ₁ (positivo porque atrasado = indutivo)
  • Para os motores (25 kVA, cos φ₂=0,6 adiantado):
    P₂ = 25·0,6 = 15 kW
    φ₂ = arccos(0,6) ⇒ sin φ₂ = √(1−0,6²)=0,8
    Q₂ = 25·sin φ₂ = 25·0,8 = 20 kVAR, mas como é adiantado, Q₂ = −20 kVAR

Passo 3

Somando as potências do conjunto:
Pₜ = P₁ + P₂ = 65 cos φ₁ + 15
Qₜ = Q₁ + Q₂ = 65 sin φ₁ − 20
Como o PF total é 0,85 atrasado, definimos φₜ = arccos(0,85). Daí:
tan φₜ = √(1−0,85²)/0,85 ≈ 0,6196
E também se sabe que tan φₜ = Qₜ/Pₜ. Logo:
(65 sin φ₁ − 20)/(65 cos φ₁ + 15) = 0,6196

Passo 4

Agora multiplicamos e isolamos termos:
65 sin φ₁ − 20 = 0,6196·(65 cos φ₁ + 15)
65 sin φ₁ − 20 = 40,274 cos φ₁ + 9,294
Passando tudo pro mesmo lado:
65 sin φ₁ − 40,274 cos φ₁ = 29,294
É uma equação do tipo A sin φ₁ + B cos φ₁ = C. A gente resolve por método fasorial ou deslocamento de ângulo:
R = √(65² + (−40,274)²) ≈ 76,507
e um ângulo α tal que
sin α = 40,274/R ≈ 0,5267
cos α = 65/R ≈ 0,8499
Então A sin φ₁ + B cos φ₁ = R sin(φ₁ − α) = C ⇒
sin(φ₁ − α) = C/R = 29,294/76,507 ≈ 0,3828
φ₁ − α = arcsin(0,3828) ≈ 22,52°
Logo φ₁ ≈ 22,52° + 31,78° = 54,30°

Passo 5

Agora o fator de potência da carga é cos φ₁ = cos(54,30°) ≈ 0,584

Resposta

O fator de potência da carga de 65 kVA é aproximadamente 0,58 (atrasado).

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