1. A carga acumulada nos terminais de um capacitor é sempre proporcional à tensão a ele aplicada. Dois capacitores, 5 \mu \mathrm{~F} e C , são conectados em série e alimentados por uma bateria de 12 V . Sabendo-se que a carga acumulada pelo capacitor de 5 \mu \mathrm{~F} é de, aproximadamente, 0,5 \mu \mathrm{C}, qual será a capacitância de C ?
    \bigcirc A. 42 nF .
    \bigcirc B. 420 nF .
    \bigcirc C. 0,42 \mu \mathrm{~F}.
    \bigcirc D. 42 \mu \mathrm{~F}.
    \bigcirc E. 42 pF .

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa só:
  • Dois capacitores, de capacitâncias 5\\ \mu\mathrm{F} e C, estão conectados em série e ligados a uma bateria de 12\\ \mathrm{V}.
  • A carga acumulada no capacitor de 5\\ \mu\mathrm{F} é aproximadamente 0,5\\ \mu\mathrm{C}.
  • Pergunta: determinar o valor da capacitância C.

Passo 2

Conceito importante (aula rápida): relação carga-tensão para um capacitor.
  • A fórmula básica é \;Q = C\,V\;, onde:
    • \;Q\; é a carga no capacitor (em coulombs),
    • \;C\; é a capacitância (em farads),
    • \;V\; é a diferença de potencial (em volts).
  • Observação sobre capacitores em série: a carga em cada capacitor ligado em série é a mesma (porque a mesma quantidade de carga que sai de um terminal passa pelo outro). Ou seja, \;Q é igual para os dois capacitores da série.

Passo 3

Converter as grandezas para unidades do SI (farad, coulomb, volt) usando notação científica com vírgula:
  • Capacitância conhecida: \;5\\ \mu\mathrm{F} = 5\times10^{-6}\\ \mathrm{F}.
  • Carga dada: \;Q = 0,5\\ \mu\mathrm{C} = 0,5\times10^{-6}\\ \mathrm{C}.
  • Tensão da bateria: \;V_{\text{total}} = 12\\ \mathrm{V}.

Passo 4

Calcular a tensão no capacitor de 5\\ \mu\mathrm{F}.
  • Usamos \;Q = C_1 V_1\; com C_1 = 5\times10^{-6}\\ \mathrm{F} e Q = 0,5\times10^{-6}\\ \mathrm{C}.
  • Portanto:
V_1 = \frac{Q}{C_1} = \frac{0,5\times10^{-6}}{5\times10^{-6}} = 0,1\\ \mathrm{V}.
  • Explicando o cálculo: dividimos 0,5 por 5 (dá 0,1) e os fatores 10^{-6} no numerador e denominador se cancelam.

Passo 5

Encontrar a tensão no outro capacitor (o de capacitância C).
  • A soma das tensões nos dois capacitores em série é a tensão da bateria:
V_{\text{total}} = V_1 + V_2.
  • Então
V_2 = V_{\text{total}} - V_1 = 12 - 0,1 = 11,9\\ \mathrm{V}.

Passo 6

Usar a relação Q = C_2 V_2 para achar C_2 (que é o C pedido).
  • Rearranjando, \;C_2 = \dfrac{Q}{V_2}.
  • Substituindo os valores (lembre que Q = 0,5\times10^{-6}\\ \mathrm{C} e V_2 = 11,9\\ \mathrm{V}):
C_2 = \frac{0,5\times10^{-6}}{11,9}\\ \mathrm{F}.

Passo 7

Fazer a divisão e converter para uma unidade prática (nanofarad).
  • Calculemos numericamente:
C_2 \approx 0,0420168\times10^{-6}\\ \mathrm{F} = 4,20168\times10^{-8}\\ \mathrm{F}.
  • Converter para nanofarad ( 1\\ \mathrm{nF} = 10^{-9}\\ \mathrm{F}):
C_2 = 4,20168\times10^{-8}\\ \mathrm{F} \times\frac{1\\ \mathrm{nF}}{10^{-9}\\ \mathrm{F}} = 42,0168\\ \mathrm{nF}.
  • Arredondando para dois algarismos significativos (e compatível com as alternativas): C_2 \approx 42\\ \mathrm{nF}.

Passo 8

Interpretação final entre as alternativas: 42\\ \mathrm{nF} corresponde à alternativa A.

Resposta

A. 42\\ \mathrm{nF}

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