Uma carga está conectada à rede elétrica de 127 V (RMS), 60 Hze absorve da rede 1450 W com fator de potência de 0,8 (atrasado). Determinar o valor da capacitância necessária para elevar o fator de potência para 0,95 .

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados e pede uma única coisa:
Dados:
V_{\text{rms}}=127\\ \text{V},\qquad f=60\\ \text{Hz},\qquad P=1450\\ \text{W},
\text{fator de potência inicial } \text{pf}_1=0{,}8\\ (\text{atrasado}), \qquad \text{fator de potência desejado } \text{pf}_2=0{,}95.êê
Pergunta:
Determinar o valor da capacitância C necessária para elevar o fator de potência de 0{,}8 para 0{,}95.

Passo 2

Vamos entender as grandezas elétricas envolvidas (aula rapidinha e prática).
  • Potência ativa (real): \,P é a potência que é efetivamente consumida em W.
  • Potência aparente: \,S em VA e está relacionada com P por
S=\frac{P}{\text{pf}}.
  • Potência reativa: \,Q em var, ligada à energia que oscila entre fonte e reatância. Para circuitos sinusoidais
Q=P\tan\varphi,
onde \varphi é o ângulo de fase entre tensão e corrente e \cos\varphi=\text{pf}.
Observação prática: se a carga é indutiva (pf atrasado) temos Q>0. Um capacitor fornece Q_c<0 (ou seja, potência reativa capacitiva que “anula” parte de Q indutiva).

Passo 3

Calcular a potência reativa inicial Q_1 associada a \text{pf}_1=0{,}8.
Primeiro encontramos \tan\varphi_1 usando \cos\varphi_1=\text{pf}_1:
\tan\varphi_1=\frac{\sqrt{1-\cos^2\varphi_1}}{\cos\varphi_1} =\frac{\sqrt{1-(0{,}8)^2}}{0{,}8} =\frac{\sqrt{1-0{,}64}}{0{,}8} =\frac{\sqrt{0{,}36}}{0{,}8} =\frac{0{,}6}{0{,}8}=0{,}75.
Então
Q_1 = P\cdot \tan\varphi_1 = 1450\cdot 0{,}75 = 1087{,}5\\ \text{var}.

Passo 4

Calcular a potência reativa desejada Q_2 para \text{pf}_2=0{,}95.
Primeiro \tan\varphi_2:
\tan\varphi_2=\frac{\sqrt{1-(0{,}95)^2}}{0{,}95} =\frac{\sqrt{1-0{,}9025}}{0{,}95} =\frac{\sqrt{0{,}0975}}{0{,}95}\approx\frac{0{,}312409987}{0{,}95}\approx 0{,}32885209.
Então
Q_2 = P\cdot \tan\varphi_2 \approx 1450\cdot 0{,}32885209 \approx 476{,}84\\ \text{var}.

Passo 5

Potência reativa que o capacitor precisa fornecer (magnitude):
Q_c = Q_1 - Q_2 = 1087{,}5 - 476{,}84 \approx 610{,}66\\ \text{var}.
Explicação: a carga é indutiva, logo Q_1>0. O capacitor fornece Q_c<0; em módulo precisamos de 610{,}66\\ \text{var} para reduzir Q até o valor desejado.

Passo 6

Relacionar Q_c com a capacitância. Para um capacitor sujeito a tensão senoidal:
I_c = V_{\text{rms}}\omega C,\qquad Q_c = V_{\text{rms}}I_c = V_{\text{rms}}^2\omega C.
Aqui \omega=2\pi f. Desse modo
C=\frac{Q_c}{V_{\text{rms}}^2\omega}.
Calcular numericamente:
\omega = 2\pi f = 2\pi\cdot 60 = 120\pi\\ \text{rad/s}\approx 376{,}9911\\ \text{rad/s},
V_{\text{rms}}^2 = 127^2 = 16129.
Produto do denominador:
V_{\text{rms}}^2\omega \approx 16129\cdot 376{,}9911 \approx 6{,}080{,}489{,}45.
Portanto
C \approx \frac{610{,}66}{6{,}080{,}489{,}45}\approx 1{,}004\times 10^{-4}\\ \text{F}.
Converter para microfarads:
C\approx 1{,}004\times 10^{-4}\\ \text{F}=100{,}4\\ \mu\text{F}.

Passo 7

Interpretação final e dica prática: você precisa de um capacitor com capacitância aproximadamente 100{,}4\\ \mu\text{F}. Na prática escolhe-se um valor comercial próximo (por exemplo 100\\ \mu\text{F}) ou uma combinação de capacitores que resulte perto desse valor, lembrando de verificar tensão nominal e segurança.

Resposta

C\approx 1{,}004\times 10^{-4}\\ \text{F}=100{,}4\\ \mu\text{F}

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