Sendo \boldsymbol{D}=8 x e^{-y} \hat{\mathrm{a}}_{\boldsymbol{x}}-4 x^{2} e^{-y} \hat{\mathrm{a}}_{\boldsymbol{y}} \quad \mu \mathrm{C} / \mathrm{m}^{2}, determine o fluxo que atravessa a superfície do cubo definida por |x|,|y| e|z| \leq 1.

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar o fluxo total que atravessa a superfície fechada do cubo definido por |x| \leq 1,\; |y| \leq 1,\; |z| \leq 1 para o campo
\mathbf{D} = 8 x e^{-y} \,\hat{\mathbf{a}}_{x} - 4 x^{2} e^{-y} \,\hat{\mathbf{a}}_{y}\quad (\mu\mathrm{C}/\mathrm{m}^{2}).
Informações dadas:
\mathbf{D}(x,y,z)=8x e^{-y}\,\hat{\mathbf{a}}_{x}-4x^{2}e^{-y}\,\hat{\mathbf{a}}_{y},
o domínio de integração é o cubo V=\{(x,y,z)\mid -1\le x\le1,\,-1\le y\le1,\,-1\le z\le1\}.
A pergunta única: calcular o fluxo total \Phi saindo da superfície fechada do cubo.

Passo 2

Escolha do método e enunciado do teorema usado (aqui eu explico didaticamente).
Uma forma direta seria calcular \mathbf{D}\cdot\hat{\mathbf{n}} em cada face e integrar em cada uma das 6 faces — isso dá muito trabalho e é propenso a erro. Em vez disso usamos o Teorema da Divergência (também chamado teorema de Gauss), que é perfeito para fluxos através de superfícies fechadas.
O Teorema da Divergência diz:
\iint_{S} \mathbf{D}\cdot d\mathbf{S} \;=\; \iiint_{V} (\nabla\cdot\mathbf{D})\, dV,
onde S é a superfície fechada que envolve o volume V, d\mathbf{S} é o elemento de área apontando para fora, e \nabla\cdot\mathbf{D} é a divergência de \mathbf{D}. Em palavras: o fluxo total pela superfície é igual à integral tripla da divergência no volume. Isso simplifica porque avaliamos uma integral no volume (muito direta para funções do tipo aqui).

Passo 3

Cálculo da divergência \nabla\cdot\mathbf{D}.
A divergência em coordenadas cartesianas é a soma das derivadas parciais das componentes:
\nabla\cdot\mathbf{D}=\frac{\partial D_x}{\partial x}+\frac{\partial D_y}{\partial y}+\frac{\partial D_z}{\partial z}.
Aqui D_x=8x e^{-y}, D_y=-4x^{2}e^{-y}, D_z=0. Vamos calcular cada termo separadamente.
Derivada em relação a x:
\frac{\partial D_x}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\big(8x e^{-y}\big)=8 e^{-y},
porque e^{-y} é tratado como constante ao derivar em x.
Derivada em relação a y:
\frac{\partial D_y}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\big(-4x^{2}e^{-y}\big)=-4x^{2}\frac{d}{dy}(e^{-y})=-4x^{2}(-e^{-y})=4x^{2}e^{-y}.
Derivada em relação a z:
\frac{\partial D_z}{\partial z}=0.
Somando:
\nabla\cdot\mathbf{D}=8 e^{-y}+4x^{2}e^{-y}=e^{-y}\big(8+4x^{2}\big).

Passo 4

Montando a integral tripla pelo volume do cubo.
Pelo Teorema da Divergência,
\Phi=\iiint_{V} (\nabla\cdot\mathbf{D})\, dV =\iiint_{V} e^{-y}\big(8+4x^{2}\big)\, dV.
O volume V é o cubo com x,y,z\in[-1,1], então explicitamente
\Phi=\int_{z=-1}^{1}\int_{x=-1}^{1}\int_{y=-1}^{1} e^{-y}\big(8+4x^{2}\big)\, dy\,dx\,dz.
Note que a função se separa como produto de função de x por função de y (e é independente de z), então podemos separar as integrais — isso facilita muito o cálculo.

Passo 5

Separação das integrais e cálculo da integral em z.
Como a integranda é independente de z,
\int_{z=-1}^{1} dz = 2.
Logo
\Phi=2\left(\int_{x=-1}^{1}\big(8+4x^{2}\big)\,dx\right)\left(\int_{y=-1}^{1} e^{-y}\,dy\right).

Passo 6

Cálculo da integral em x:
\int_{x=-1}^{1}\big(8+4x^{2}\big)\,dx =\int_{-1}^{1}8\,dx+\int_{-1}^{1}4x^{2}\,dx.
Primeiro termo:
\int_{-1}^{1}8\,dx=8\cdot(1-(-1))=8\cdot 2=16.
Segundo termo:
\int_{-1}^{1}4x^{2}\,dx =4\int_{-1}^{1}x^{2}\,dx =4\cdot\frac{2}{3}=\frac{8}{3},
porque \int_{-1}^{1}x^{2}\,dx = 2\cdot\frac{1^{3}}{3}=\frac{2}{3}.
Somando:
\int_{x=-1}^{1}\big(8+4x^{2}\big)\,dx = 16+\frac{8}{3}=\frac{48+8}{3}=\frac{56}{3}.

Passo 7

Cálculo da integral em y:
\int_{y=-1}^{1} e^{-y}\,dy.
Uma primitiva de e^{-y} é -e^{-y}. Então
\int_{-1}^{1} e^{-y}\,dy = \big[-e^{-y}\big]_{y=-1}^{y=1} = -e^{-1} - \big(-e^{1}\big) = e - e^{-1}.

Passo 8

Multiplicando os resultados para obter o fluxo.
Reunindo:
\Phi = 2 \cdot \frac{56}{3}\cdot\big(e - e^{-1}\big) = \frac{112}{3}\big(e - e^{-1}\big).
Unidade: como \mathbf{D} está em \mu\mathrm{C}/\mathrm{m}^{2} e integramos sobre área, o fluxo \Phi tem unidade \mu\mathrm{C}.

Resposta

\dfrac{112}{3}\bigl(e - e^{-1}\bigr)\\ \mu\mathrm{C}

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