Sendo
, determine o fluxo que atravessa a superfície do cubo definida por
.
Passo 1
O que o enunciado pede: determinar o fluxo total que atravessa a superfície fechada do cubo definido por
para o campo
Informações dadas:
o domínio de integração é o cubo
.
A pergunta única: calcular o fluxo total saindo da superfície fechada do cubo.
A pergunta única: calcular o fluxo total
Passo 2
Escolha do método e enunciado do teorema usado (aqui eu explico didaticamente).
Uma forma direta seria calcular em cada face e integrar em cada uma das 6 faces — isso dá muito trabalho e é propenso a erro. Em vez disso usamos o Teorema da Divergência (também chamado teorema de Gauss), que é perfeito para fluxos através de superfícies fechadas.
Uma forma direta seria calcular
O Teorema da Divergência diz:
onde
é a superfície fechada que envolve o volume
,
é o elemento de área apontando para fora, e
é a divergência de
. Em palavras: o fluxo total pela superfície é igual à integral tripla da divergência no volume. Isso simplifica porque avaliamos uma integral no volume (muito direta para funções do tipo aqui).
Passo 3
Cálculo da divergência
.
A divergência em coordenadas cartesianas é a soma das derivadas parciais das componentes:
A divergência em coordenadas cartesianas é a soma das derivadas parciais das componentes:
Aqui
,
,
. Vamos calcular cada termo separadamente.
Derivada em relação a
:
porque
é tratado como constante ao derivar em
.
Derivada em relação a
:
Derivada em relação a
:
Somando:
Passo 4
Montando a integral tripla pelo volume do cubo.
Pelo Teorema da Divergência,
Pelo Teorema da Divergência,
O volume
é o cubo com
, então explicitamente
Note que a função se separa como produto de função de
por função de
(e é independente de
), então podemos separar as integrais — isso facilita muito o cálculo.
Passo 5
Separação das integrais e cálculo da integral em
.
Como a integranda é independente de ,
Como a integranda é independente de
Logo
Passo 6
Cálculo da integral em
:
Primeiro termo:
Segundo termo:
porque
.
Somando:
Somando:
Passo 7
Cálculo da integral em
:
Uma primitiva de
é
. Então
Passo 8
Multiplicando os resultados para obter o fluxo.
Reunindo:
Reunindo:
Unidade: como
está em
e integramos sobre área, o fluxo
tem unidade
.