Uma carga demanda uma corrente i(t)=4 \cos \left(100 \pi t+10^{\circ}\right) A quando é aplicada sobre ela uma tensão v(t)=120 \cos \left(100 \pi t-20^{\circ}\right) \mathrm{V}. Encontre a potência aparente e o fator de potência da carga. Além disso, determine os valores dos elementos (resistência e reatância) que formam impedância da carga.

Passo 1

O enunciado dá a corrente
\displaystyle i(t)=4\cos\bigl(100\pi t+10^\circ\bigr)
e a tensão
\displaystyle v(t)=120\cos\bigl(100\pi t-20^\circ\bigr).
Estamos em regime senoidal permanente; o conteúdo é análise fasorial de potência em corrente alternada. Para resolver, vamos:
– converter sinais em fasores RMS;
– calcular a potência aparente S pelo produto V\cdot I^*;
– extrair o fator de potência;
– determinar a impedância \displaystyle Z=\frac{V}{I} e, dela, \,R=\Re\{Z\} e X=\Im\{Z\}.

Passo 2

Converter em fasores (valores RMS):
– Corrente fasorial RMS
I = \frac{4}{\sqrt2}\angle 10^\circ = \;2\sqrt2\angle10^\circ\\ \text{A}.
– Tensão fasorial RMS
V = \frac{120}{\sqrt2}\angle(-20^\circ) = 60\sqrt2\angle(-20^\circ)\\ \text{V}.

Passo 3

Potência aparente
S = V\;I^* = \bigl(60\sqrt2\angle -20^\circ\bigr)\,\bigl(2\sqrt2\angle -10^\circ\bigr) =120\cdot2\;\angle(-20^\circ-10^\circ) =480\angle -30^\circ\\ \text{VA}.
Em forma retangular,
P = 480\cos(-30^\circ)=480\cdot0,866=415,7\\ \text{W}, \quad Q = 480\sin(-30^\circ)=480\cdot(-0,5)=-240\\ \text{var}.

Passo 4

Fator de potência
\text{PF} = \cos\bigl(\arg S\bigr) = \cos(-30^\circ)=0,866,
e, como \arg S<0, o fator de potência é leading (corrente adiantada em relação à tensão).

Passo 5

Impedância da carga
Z = \frac{V}{I} = \frac{60\sqrt2\angle(-20^\circ)}{2\sqrt2\angle10^\circ} =30\angle(-30^\circ)\\ \Omega.

Passo 6

Separando em parte real e imaginária:
R = 30\cos(-30^\circ)=30\cdot0,866=25,98\\ \Omega, \quad X = 30\sin(-30^\circ)=30\cdot(-0,5)=-15\\ \Omega.
O sinal negativo de X indica reatância capacitiva.

Resposta

Potência aparente: S=480\angle -30^\circ\\ \mathrm{VA} (ou 415{,}7 - j\,240\\ \mathrm{var}).
Fator de potência: \mathrm{PF}=0{,}866 (leading).
Impedância: Z=25{,}98 - j\,15\\ \Omega, isto é, R=25{,}98\\ \Omega e X=-15\\ \Omega.

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