Dado i_{1}(t)=4 \cos \left(\omega t+30^{\circ}\right) A e i_{2}(t)=5 \operatorname{sen}\left(\omega t-20^{\circ}\right) A, encontre a sua soma expressando-a na forma polar.

Passo 1

O enunciado nos dá duas correntes senoidais no domínio do tempo
i_{1}(t)=4\cos\bigl(\omega t+30^\circ\bigr)\;\text{A}, \quad i_{2}(t)=5\operatorname{sen}\bigl(\omega t-20^\circ\bigr)\;\text{A},
e pede a soma i(t)=i_{1}(t)+i_{2}(t) expressa na forma polar (ou seja, única fasor com módulo e fase). Usaremos análise fasorial: converteremos tudo para coseno, montaremos os fasores, somaremos vetorialmente em forma retangular e depois voltamos para a forma polar.

Passo 2

Converter i_{2}(t) para cosseno, pois o referencial de fasor costuma ser \cos. Lembrando que
\operatorname{sen}(x)=\cos\bigl(x-90^\circ\bigr),
temos
i_{2}(t) =5\operatorname{sen}\bigl(\omega t-20^\circ\bigr) =5\cos\bigl(\omega t-20^\circ-90^\circ\bigr) =5\cos\bigl(\omega t-110^\circ\bigr)\;\text{A}.

Passo 3

Definimos os fasores (referenciais em \cos(\omega t))
I_{1}=4\angle 30^\circ, \quad I_{2}=5\angle (-110^\circ).

Passo 4

Passamos cada fasor para forma retangular a+jb:
I_{1} =4\bigl(\cos30^\circ + j\sin30^\circ\bigr) =4\bigl(0{,}8660 + j\,0{,}5000\bigr) =3{,}464 + j\,2{,}000,
I_{2} =5\bigl(\cos(-110^\circ)+j\sin(-110^\circ)\bigr) =5\bigl(-0{,}3420 - j\,0{,}9397\bigr) =-1{,}710 - j\,4{,}6985.

Passo 5

Somamos os fasores em retangular:
I =I_{1}+I_{2} =(3{,}464 -1{,}710) + j\,(2{,}000 -4{,}6985) =1{,}754 - j\,2{,}6985.

Passo 6

Calculamos o módulo e a fase de I:
|I| =\sqrt{1{,}754^2+(-2{,}6985)^2} \approx\sqrt{3{,}077+7{,}286} \approx3{,}22,
\varphi =\arctan\!\Bigl(\frac{-2{,}6985}{1{,}754}\Bigr) \approx-57{,}7^\circ \quad(\text{o ponto está em Q4, real positiva, imag. negativa}).á

Passo 7

Voltamos ao domínio do tempo:
i(t) =|I|\cos\bigl(\omega t+\varphi\bigr) =3{,}22\cos\bigl(\omega t-57{,}7^\circ\bigr)\;\text{A}.

Resposta

A soma das correntes, em forma polar de fasor, é
I=3{,}22\angle(-57{,}7^\circ)\;\text{A},
isto é, no tempo,
i(t)=3{,}22\cos\bigl(\omega t-57{,}7^\circ\bigr)\;\text{A}.

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