Uma carga de densidade linear uniforme 2,0 nC / m está distribúida ao longo de uma barra longa, fina, isolante. A barra está envolvida por uma casca longa, cilíndrica, coaxial, condutora (raio interno: 5,0 cm; raio externo: 10 cm ). A carga da casca é zero. Determine a densidade superficial de carga na superfície interna da casca.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma barra longa e fina que está carregada de forma uniforme com uma densidade linear de carga de 2,0 , nC/m. Essa barra está envolvida por uma casca cilíndrica condutora, que é coaxial com a barra e tem raio interno de 5,0 , cm e raio externo de 10 , cm. A carga total da casca é zero. Nosso objetivo é determinar a densidade superficial de carga na superfície interna dessa casca. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de eletrostática, especificamente a Lei de Gauss e a distribuição de carga em condutores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em um condutor em equilíbrio eletrostático, as cargas livres se distribuem de maneira a cancelar o campo elétrico no interior do material do condutor. Isso significa que qualquer carga presente dentro da casca condutora induzirá uma carga oposta na superfície interna da casca.

Passo 3

A barra tem uma densidade linear de carga lambda = 2,0 , nC/m. Para que o campo elétrico dentro do condutor seja zero, a superfície interna da casca deve ter uma carga igual e oposta à da barra. Portanto, a densidade superficial de carga sigma na superfície interna da casca deve satisfazer:
sigma cdot A = -lambda cdot L
Onde A é a área interna por unidade de comprimento, e L é o comprimento considerado, que podemos assumir como 1 metro para simplificar.

Passo 4

A área interna A para uma casca cilíndrica por unidade de comprimento é dada por:
A = 2pi ri cdot L
Como estamos considerando L = 1 , m e ri = 5,0 , cm = 0,05 , m, temos:
A = 2pi times 0,05 , m times 1 , m = 0,1pi , m^2

Passo 5

Substituindo A na equação da carga:
sigma times 0,1pi = -2,0 times 10^-9 , C/m
Resolvendo para sigma:
sigma = -2,0 times 10^-9 , C/m0,1pi , m^2 = -2,0 times 10^-90,1pi , C/m^2

Passo 6

Calculando o valor numérico:
sigma = -2,0 times 10^-90,314 approx -6,37 times 10^-9 , C/m^2
Convertendo para nanocoulombs por metro quadrado:
sigma approx -6,37 , nC/m^2

Resposta

A densidade superficial de carga na superfície interna da casca é aproximadamente -6,37 , nC/m^2.

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