Uma carga de densidade linear uniforme
está distribúida ao longo de uma barra longa, fina, isolante. A barra está envolvida por uma casca longa, cilíndrica, coaxial, condutora (raio interno:
; raio externo: 10 cm ). A carga da casca é zero. Determine a densidade superficial de carga na superfície interna da casca.
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma barra longa e fina que está carregada de forma uniforme com uma densidade linear de carga de
. Essa barra está envolvida por uma casca cilíndrica condutora, que é coaxial com a barra e tem raio interno de
e raio externo de
. A carga total da casca é zero. Nosso objetivo é determinar a densidade superficial de carga na superfície interna dessa casca. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de eletrostática, especificamente a Lei de Gauss e a distribuição de carga em condutores.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em um condutor em equilíbrio eletrostático, as cargas livres se distribuem de maneira a cancelar o campo elétrico no interior do material do condutor. Isso significa que qualquer carga presente dentro da casca condutora induzirá uma carga oposta na superfície interna da casca.
Passo 3
A barra tem uma densidade linear de carga
. Para que o campo elétrico dentro do condutor seja zero, a superfície interna da casca deve ter uma carga igual e oposta à da barra. Portanto, a densidade superficial de carga
na superfície interna da casca deve satisfazer:
Onde
é a área interna por unidade de comprimento, e
é o comprimento considerado, que podemos assumir como 1 metro para simplificar.
Passo 4
A área interna
para uma casca cilíndrica por unidade de comprimento é dada por:
Como estamos considerando
e
, temos:
Passo 5
Substituindo
na equação da carga:
Resolvendo para
:
Passo 6
Calculando o valor numérico:
Convertendo para nanocoulombs por metro quadrado:
Resposta
A densidade superficial de carga na superfície interna da casca é aproximadamente
.