Um sistema de oscilações amortecidas tem período de 2,5 s. Sabendo que a energia cai 10 % a cada ciclo, calcule:
Qual seria o valor de gamma para que o sistema seja criticamente amortecido?

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que o exercício pede e identificar os conceitos que vamos usar. Temos um sistema de oscilações amortecidas com período de e sabemos que a energia do sistema diminui a cada ciclo. Queremos descobrir o valor de que torna o sistema criticamente amortecido. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de oscilações amortecidas, período das oscilações e a relação entre a energia e o amortecimento.

Passo 2

Vamos começar encontrando a frequência angular das oscilações. O período omegad = 2piT está relacionado com a frequência angular omegad = 2pi2,5 = 2pi2,5 approx 2,513 , rad/s pela fórmula:
Aqui, , então:

Passo 3

Sabemos que a energia do sistema decresce E(nT) = E0 times (0,9)^n a cada ciclo. Isso significa que, após cada período , a energia é da energia anterior. Matematicamente, isso pode ser expresso como:
Onde é a energia inicial e é o número de ciclos.

Passo 4

A energia em um sistema amortecido decai exponencialmente com o tempo, conforme a fórmula:
E(t) = E0 e^-2gamma t
Comparando com a expressão do Passo 3, temos:
e^-2gamma nT = (0,9)^n
Podemos simplificar tirando o logaritmo natural dos dois lados:
-2gamma T = ln(0,9)
Isolando gamma = -ln(0,9)2T :

Passo 5

Vamos calcular o valor de gamma = -ln(0,9)2 times 2,5 = -ln(0,9)5 usando ln(0,9) approx -0,10536 :
gamma = --0,105365 = 0,105365 approx 0,02107 , s^-1
Calculando o logaritmo:
Então:

Passo 6

Agora, para que o sistema seja criticamente amortecido, o valor de omega0 = 2piT deve ser igual à frequência angular natural omega0 = 2pi2,5 approx 2,513 , rad/s do sistema sem amortecimento. A frequência angular natural é dada por:
gammac = omega0 approx 2,513 , rad/s
Calculando:
Portanto, para o sistema ser criticamente amortecido:

Resposta

O valor de para que o sistema seja criticamente amortecido é aproximadamente .

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