Um sistema de oscilações amortecidas tem período de
. Sabendo que a energia cai
a cada ciclo, calcule:
Qual seria o valor de
para que o sistema seja criticamente amortecido?
Qual seria o valor de
Passo 1
Primeiro, vamos resumir o que o exercício pede e identificar os conceitos que vamos usar. Temos um sistema de oscilações amortecidas com período de
e sabemos que a energia do sistema diminui
a cada ciclo. Queremos descobrir o valor de
que torna o sistema criticamente amortecido. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de oscilações amortecidas, período das oscilações e a relação entre a energia e o amortecimento.
Passo 2
Vamos começar encontrando a frequência angular das oscilações. O período
está relacionado com a frequência angular
pela fórmula:
Aqui,
, então:
Passo 3
Sabemos que a energia do sistema decresce
a cada ciclo. Isso significa que, após cada período
, a energia
é
da energia anterior. Matematicamente, isso pode ser expresso como:
Onde
é a energia inicial e
é o número de ciclos.
Passo 4
A energia em um sistema amortecido decai exponencialmente com o tempo, conforme a fórmula:
Comparando com a expressão do Passo 3, temos:
Podemos simplificar tirando o logaritmo natural dos dois lados:
Isolando
:
Passo 5
Vamos calcular o valor de
usando
:
Calculando o logaritmo:
Então:
Passo 6
Agora, para que o sistema seja criticamente amortecido, o valor de
deve ser igual à frequência angular natural
do sistema sem amortecimento. A frequência angular natural é dada por:
Calculando:
Portanto, para o sistema ser criticamente amortecido:
Resposta
O valor de
para que o sistema seja criticamente amortecido é aproximadamente
.