Um sistema de oscilações amortecidas tem período de 
 . Sabendo que a energia cai 
  a cada ciclo, calcule:
Qual seria o valor de 
  para que o sistema seja criticamente amortecido?
Qual seria o valor de
Passo 1
Primeiro, vamos resumir o que o exercício pede e identificar os conceitos que vamos usar. Temos um sistema de oscilações amortecidas com período de 
  e sabemos que a energia do sistema diminui 
  a cada ciclo. Queremos descobrir o valor de 
  que torna o sistema criticamente amortecido. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de oscilações amortecidas, período das oscilações e a relação entre a energia e o amortecimento.
Passo 2
Vamos começar encontrando a frequência angular das oscilações. O período 
  está relacionado com a frequência angular 
  pela fórmula:
Aqui, 
 , então:
Passo 3
Sabemos que a energia do sistema decresce 
  a cada ciclo. Isso significa que, após cada período 
 , a energia 
  é 
  da energia anterior. Matematicamente, isso pode ser expresso como:
Onde 
  é a energia inicial e 
  é o número de ciclos.
Passo 4
A energia em um sistema amortecido decai exponencialmente com o tempo, conforme a fórmula:
Comparando com a expressão do Passo 3, temos:
Podemos simplificar tirando o logaritmo natural dos dois lados:
Isolando 
 :
Passo 5
Vamos calcular o valor de 
  usando 
 :
Calculando o logaritmo:
Então:
Passo 6
Agora, para que o sistema seja criticamente amortecido, o valor de 
  deve ser igual à frequência angular natural 
  do sistema sem amortecimento. A frequência angular natural é dada por:
Calculando:
Portanto, para o sistema ser criticamente amortecido:
Resposta
O valor de 
  para que o sistema seja criticamente amortecido é aproximadamente 
 .