Uma carga de dinamite lança uma pedra pesada para cima com uma velocidade de lançamento de
. A pedra atinge uma altura de
pés, após
segundos.
(a) Qual a altura máxima atingida pela pedra?
(b) Qual é a velocidade da pedra quando ela esta a 256 pés do solo na subida? E na descida?
(c) Qual é a aceleração da pedra em qualquer instante de tempo depois que ela é lançada? (d) Quanto a pedra atingira o solo novamente?
(a) Qual a altura máxima atingida pela pedra?
(b) Qual é a velocidade da pedra quando ela esta a 256 pés do solo na subida? E na descida?
(c) Qual é a aceleração da pedra em qualquer instante de tempo depois que ela é lançada? (d) Quanto a pedra atingira o solo novamente?
Passo 1
O enunciado dá a posição (altura) da pedra em função do tempo por
onde
está em pés e
em segundos. Observação: o enunciado verbalmente menciona
, mas vou usar a função
fornecida (unidades compatíveis com pés e segundos) — é essa função que resolve os itens.
As perguntas são:
(a) Qual a altura máxima atingida pela pedra?
(b) Qual é a velocidade da pedra quando ela está a pés do solo na subida? E na descida?
(c) Qual é a aceleração da pedra em qualquer instante depois do lançamento?
(d) Em quanto tempo a pedra atingirá o solo novamente?
As perguntas são:
(a) Qual a altura máxima atingida pela pedra?
(b) Qual é a velocidade da pedra quando ela está a
(c) Qual é a aceleração da pedra em qualquer instante depois do lançamento?
(d) Em quanto tempo a pedra atingirá o solo novamente?
Passo 2
Vamos obter a velocidade instantânea — esta é a derivada da posição em relação ao tempo. Intuição rápida: a derivada
dá a taxa de variação da altura por segundo, ou seja, a velocidade
. Calculamos a derivada termo a termo: a derivada de
é
e a derivada de
é
. Logo
Explicando: quando eu derivo
eu obtenho
então
; ao derivar
uso a regra
, então
. A unidade de
é pés por segundo (
).
Passo 3
A altura máxima ocorre quando a velocidade instantânea é zero (ponto em que sobe e começa a descer). Então resolvemos
Isolando
:
Agora calculamos a altura nesse instante substituindo em
:
Portanto a altura máxima é
pés, alcançada em
s. (Como alternativa ao uso de derivada, para uma parábola
o vértice ocorre em
; aplicar isso daria o mesmo
.)
Passo 4
Para saber quando a pedra está a
pés, resolvemos
:
Passos algébricos: subtrair
dos dois lados e dividir por
para simplificar:
Agora resolvemos a quadrática. Podemos fatorar:
. Então as soluções são
Interpretação:
corresponde à passagem pela altura de
pés na subida (porque
), e
corresponde à passagem na descida (porque
). Agora calculamos a velocidade nesses instantes usando
:
Significado do sinal:
indica movimento para cima;
indica movimento para baixo (mesma magnitude, sentidos opostos).
Passo 5
A aceleração é a derivada da velocidade, ou a segunda derivada da posição. Tomando a derivada de
obtemos
Isso é constante em qualquer instante: a pedra sofre uma aceleração constante para baixo igual a
(valor típico da gravidade em unidades inglesas).
Passo 6
Para saber quando a pedra retorna ao solo resolvemos
:
As soluções são
(no lançamento) e
s. O tempo positivo em que a pedra atinge o solo novamente é
s. (Opcional: a velocidade ao atingir o solo é
, apontando para baixo.)
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(b)
(c)
(d)