Uma carga de dinamite lança uma pedra pesada para cima com uma velocidade de lançamento de 160 \mathrm{mi} / \mathrm{h}. A pedra atinge uma altura de s(t)=160 t-16 t^{2} pés, após t segundos.
(a) Qual a altura máxima atingida pela pedra?
(b) Qual é a velocidade da pedra quando ela esta a 256 pés do solo na subida? E na descida?
(c) Qual é a aceleração da pedra em qualquer instante de tempo depois que ela é lançada? (d) Quanto a pedra atingira o solo novamente?

Passo 1

O enunciado dá a posição (altura) da pedra em função do tempo por
s(t)=160t-16t^{2}
onde s(t) está em pés e t em segundos. Observação: o enunciado verbalmente menciona 160\\ \text{mi/h}, mas vou usar a função s(t) fornecida (unidades compatíveis com pés e segundos) — é essa função que resolve os itens.
As perguntas são:
(a) Qual a altura máxima atingida pela pedra?
(b) Qual é a velocidade da pedra quando ela está a 256 pés do solo na subida? E na descida?
(c) Qual é a aceleração da pedra em qualquer instante depois do lançamento?
(d) Em quanto tempo a pedra atingirá o solo novamente?

Passo 2

Vamos obter a velocidade instantânea — esta é a derivada da posição em relação ao tempo. Intuição rápida: a derivada s'(t) dá a taxa de variação da altura por segundo, ou seja, a velocidade v(t). Calculamos a derivada termo a termo: a derivada de 160t é 160 e a derivada de -16t^{2} é -32t. Logo
v(t)=s'(t)=160-32t.
Explicando: quando eu derivo t eu obtenho 1 então 160t\mapsto160; ao derivar t^{2} uso a regra \frac{d}{dt}t^{n}=n t^{n-1}, então -16t^{2}\mapsto -16\cdot 2t = -32t. A unidade de v(t) é pés por segundo ( \text{ft/s}).

Passo 3

A altura máxima ocorre quando a velocidade instantânea é zero (ponto em que sobe e começa a descer). Então resolvemos
v(t)=160-32t=0.
Isolando t:
32t=160 \implies t=5\\ \text{s}.
Agora calculamos a altura nesse instante substituindo em s(t):
s(5)=160\cdot 5 -16\cdot 5^{2}=800-16\cdot 25=800-400=400\\ \text{ft}.
Portanto a altura máxima é 400 pés, alcançada em t=5 s. (Como alternativa ao uso de derivada, para uma parábola at^{2}+bt+c o vértice ocorre em t=-\dfrac{b}{2a}; aplicar isso daria o mesmo t=5.)

Passo 4

Para saber quando a pedra está a 256 pés, resolvemos s(t)=256:
160t-16t^{2}=256.
Passos algébricos: subtrair 256 dos dois lados e dividir por -16 para simplificar:
-16t^{2}+160t-256=0 \implies t^{2}-10t+16=0.
Agora resolvemos a quadrática. Podemos fatorar: t^{2}-10t+16=(t-2)(t-8). Então as soluções são
t=2\\ \text{s}\quad\text{e}\quad t=8\\ \text{s}.
Interpretação: t=2 corresponde à passagem pela altura de 256 pés na subida (porque 2<5), e t=8 corresponde à passagem na descida (porque 8>5). Agora calculamos a velocidade nesses instantes usando v(t)=160-32t:
v(2)=160-32\cdot 2=160-64=96\\ \text{ft/s},
v(8)=160-32\cdot 8=160-256=-96\\ \text{ft/s}.
Significado do sinal: v(2)=+96\\ \text{ft/s} indica movimento para cima; v(8)=-96\\ \text{ft/s} indica movimento para baixo (mesma magnitude, sentidos opostos).

Passo 5

A aceleração é a derivada da velocidade, ou a segunda derivada da posição. Tomando a derivada de v(t)=160-32t obtemos
a(t)=v'(t)=s''(t)=-32\\ \text{ft/s}^{2}.
Isso é constante em qualquer instante: a pedra sofre uma aceleração constante para baixo igual a -32\\ \text{ft/s}^{2} (valor típico da gravidade em unidades inglesas).

Passo 6

Para saber quando a pedra retorna ao solo resolvemos s(t)=0:
160t-16t^{2}=0 \implies -16t(t-10)=0.
As soluções são t=0 (no lançamento) e t=10 s. O tempo positivo em que a pedra atinge o solo novamente é t=10 s. (Opcional: a velocidade ao atingir o solo é v(10)=160-32\cdot 10=160-320=-160\\ \text{ft/s}, apontando para baixo.)

Resposta

(a) \,400\\ \text{ft}
(b) \,\text{na subida }=96\\ \text{ft/s};\\ \text{na descida }=-96\\ \text{ft/s}
(c) \,-32\\ \text{ft/s}^{2}
(d) \,10\\ \text{s}

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