(3,0 pt) Diga se a série converge ou diverge. Se convergir, calcule sua soma (com exceção do item c)). Se divergir, justifique:
(a) sumn=1^infty 8(12)^n-1

Passo 1

Nesse exercício, a gente tem a série sumn=1^infty 8l(tfrac12r)^n-1. O conteúdo aqui é séries geométricas, e vamos precisar da definição de convergência para séries do tipo sum a1 r^n-1 e da fórmula da soma quando |r|<1.

Passo 2

Identificamos que o primeiro termo é a1 = 8 e a razão é r = tfrac12. Pela teoria de séries geométricas, a série converge se, e somente se, |r| < 1. Como |r| = tfrac12 < 1, concluímos que a série converge. A fórmula da soma de uma série geométrica convergente é:
sumn=1^infty a1 r^n-1 = a11 - r

Passo 3

Agora é só substituir a1 = 8 e r = tfrac12 na fórmula:
81 - tfrac12 = 8tfrac12 = 16

Resposta

A série converge e sua soma é 16.

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