Determine o fluxo líquido através do cubo do exercício 27 se o campo elétrico for dado por: E=-4 i+(6+3 y) j.

Passo 1

Beleza, aqui a ideia é calcular o fluxo líquido do campo elétrico
E = -4,hatimath ;+;(6 + 3y),hatjmath
através de um cubo. Isso cai em “fluxo de um campo vetorial” e a ferramenta mais prática é o Teorema da Divergência (ou Teorema de Gauss).
O que vamos precisar:
  1. Calcular a divergência de .
  2. Usar o Teorema da Divergência para converter a integral de superfície em uma integral de volume.
  3. Saber o volume do cubo (seja ele de aresta , logo volume ).

Passo 2

Primeiro, lembra do que é divergência?
Para um campo nabla!cdot!vec E = partial Expartial x + partial Eypartial y + partial Ezpartial z , a divergência é
Aqui temos
, e .

Passo 3

Vamos derivar cada parte:
  • nabla!cdot!vec E = 0 + 3 + 0 = 3 , pois é constante.
  • .
  • .
Logo

Passo 4

Agora vem o Teorema da Divergência, que diz que o fluxo líquido através da superfície fechada do cubo é igual ao integral triplo da divergência sobre o volume:
Phi = integral duplapartial V vec Ecdot dvec A = integral triplaV (nabla!cdot!vec E),dV
Como Phi = integral triplaV 3,dV = 3 times (volume do cubo) é constante, fica fácil:
Se a aresta do cubo for , o volume é .

Resposta

boxedPhi = 3,a^3
Se for cubo unitário ( ), então .

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