Determine o fluxo líquido através do cubo do exercício 27 se o campo elétrico for dado por:
.
Passo 1
Beleza, aqui a ideia é calcular o fluxo líquido do campo elétrico
através de um cubo. Isso cai em “fluxo de um campo vetorial” e a ferramenta mais prática é o Teorema da Divergência (ou Teorema de Gauss).
O que vamos precisar:
O que vamos precisar:
- Calcular a divergência de
. - Usar o Teorema da Divergência para converter a integral de superfície em uma integral de volume.
- Saber o volume do cubo (seja ele de aresta
, logo volume ).
Passo 2
Primeiro, lembra do que é divergência?
Para um campo , a divergência é
Para um campo
Aqui temos
,
e
.
Passo 3
Vamos derivar cada parte:
-
, pois é constante. -
. -
.
Logo
Passo 4
Agora vem o Teorema da Divergência, que diz que o fluxo líquido através da superfície fechada do cubo é igual ao integral triplo da divergência sobre o volume:
Como
é constante, fica fácil:
Se a aresta do cubo for
, o volume é
.
Resposta
Se for cubo unitário (
), então
.