Uma carga Q está distribuída uniformemente sobre as paredes de um tubo circular de raio b e altura h.
Mostre que o potencial elétrico sobre o eixo do tubo, na região externa (z >= h) é
V=b sigma2 varepsilon0 ln [z+raizb^2+z^2z-h+raizb^2+(z-h)^2]

Passo 1

O enunciado dá uma carga total Q distribuída com densidade superficial sigma sobre as paredes de um cilindro fino (raio b, altura h) e pede o potencial elétrico V(z) ao longo do eixo para z>= h. Vamos usar superposição, escrevendo o tubo como um empilhamento de anéis carregados, cujo potencial no eixo é conhecido.

Passo 2

Considere um elemento de altura dz' situado a uma distância z' da base do cilindro. Esse elemento é um anel de raio b e carga
dQ = sigma,dA = sigma,(2pi b,dz')
O potencial no ponto do eixo a z (com origem no infinito V(infty)=0) devido a esse anel é
dV = 14pivarepsilon0,dQraizb^2 + (z-z')^2

Passo 3

Somando (integrando) todas as fatias de anel de z'=0 até z'=h, obtemos
V(z) = integral0^h dV = 14pivarepsilon0,(2pi bsigma),integral0^hdz'raizb^2 + (z - z')^2 = sigma b2varepsilon0,integral0^hdz'raizb^2 + (z - z')^2

Passo 4

Para resolver a integral, faça a mudança de variável
u = z - z', dz' = -du,
com limites z'=0mapsto u=z e z'=hmapsto u=z-h. Então
integral0^hdz'raizb^2 + (z - z')^2 = integralu=z^u=z-h-,duraizb^2 + u^2 = integralu=z-h^u=zduraizb^2 + u^2

Passo 5

Sabemos que
integralduraizb^2+u^2 = ln!l(u + raizb^2+u^2r)
Avaliando de u=z-h até u=z, dá
integralz-h^zduraizb^2+u^2 = ln!l(z + raizb^2+z^2r) - ln!l(z - h + raizb^2+(z-h)^2r)
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V(z) = sigma b2varepsilon0 ln!gl[ z + raizb^2+z^2,z - h + raizb^2+(z-h)^2, gr]

Resposta

V(z) = b,sigma2,varepsilon0 ln !gl[z+raizb^2+z^2,z-h+raizb^2+(z-h)^2gr], z>= h

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