Encontre o potencial elétrico ao longo do eixo z para uma casca esférica de raios R com distribuição uniforme de carga sigma. Calcule -nabla V e compare o resultado com a resposta do problema 16. Resp.: Externo: V(z)=R^2 sigmavarepsilon0 z; Interno: V(z)=R sigmavarepsilon0

Passo 1

O enunciado pede o potencial elétrico V(z) ao longo do eixo z para uma casca esférica de raio R carregada uniformemente com densidade superficial sigma. O conteúdo aqui é potencial eletrostático em distribuições com simetria esférica. Vamos usar o Teorema da Casca Esférica (ou simetria esférica) para obter V(r), lembrando que no eixo z, a distância ao centro é r=z.

Passo 2

Para z>= R (ponto externo) a casca esférica se comporta como carga pontual Q concentrada na origem, onde
Q = 4pi R^2 ,sigma
Logo, pelo potencial de uma carga pontual,
V(z) = 14pivarepsilon0Qz = 14pivarepsilon04pi R^2sigmaz = R^2sigmavarepsilon0,z

Passo 3

Para 0 <= z <= R (ponto interno) a casca não gera campo elétrico interno ( E=0), então o potencial é constante e igual ao valor que teria contínuo em z=R. Assim,
V(z) = V(R) = R^2sigmavarepsilon0,R = R,sigmavarepsilon0

Passo 4

Agora calculamos o campo elétrico pelo gradiente:
vec E(z) = -nabla V = -dVdz,hat z
Para z>R:
V(z)=R^2sigmavarepsilon0,z ;Longrightarrow; Ez = -ddzl(R^2sigmavarepsilon0,zr) = R^2sigmavarepsilon0,z^2,
isto é
vec E(z)=R^2sigmavarepsilon0,z^2,hat z
Para z<R: V é constante, logo
vec E(z)=0

Passo 5

Comparando com a resposta do problema 16, vemos que externamente o campo é idêntico ao de uma carga pontual Q=4pi R^2sigma e internamente E=0, conforme previsto pelo Teorema da Casca Esférica.

Resposta

Externo ( z>= R):
V(z)=R^2sigmavarepsilon0,z, vec E(z)=R^2sigmavarepsilon0,z^2,hat z
Interno ( 0<= z<= R):
V(z)=R,sigmavarepsilon0, vec E(z)=0

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