Sabendo que uma esfera dielétrica de raio R possui polarização
P=P0 r
e que não há carga de condução no sistema, determine:
(a) As cargas de polarização. (15 pts).
(b) A carga (ligada) total devido à polarização ( 1 5 pts).
Qp=integral rhop d^3 r^prime+integral sigmap d A
(c) O campo deslocamento elétrico D(r) para pontos internos e externos à esfera (10 pts).
c sigmap=n P| sup , rhop=-nabla P d nu=r^prime 2 sin theta^prime d r^prime d theta^prime d phi^prime d A=R^2 sin theta^prime d theta^prime d phi^prime
nabla A=1r^2 partialpartial r(r^2 Ar)+1r sin theta partialpartial theta(sin theta Atheta)+1r sin theta partial Aphipartial phi, divergente em coord. esfericas
oint(D n) d A=Q cond , D=varepsilon0 E+P

Passo 1

O enunciado dá uma esfera dielétrica de raio R com polarização espacial
P = P0,r = P0,r,r
e pede (a) as densidades de carga ligada de volume rhop e de superfície sigmap, (b) a carga ligada total
Qp=integral rhop,d^3r+integral sigmap,dA,
e (c) o campo deslocamento elétrico D(r) usando
rhop=-nabla!cdot!P,sigmap=n!cdot!P|r=R, ointD!cdot!dA=Qlivre=0

Passo 2

Calcular rhop=-nabla!cdot!P. Em coordenadas esféricas, para P=P0r,hat r,
nabla!cdot!P =1r^2ddrl(r^2Prr) =1r^2ddrl(r^2,P0rr) =1r^2ddrl(P0r^3r) =3P0r^2r^2 =3P0
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rhop=-3P0(para (r<R))

Passo 3

Calcular sigmap=hat n!cdot!P|r=R. A normal externa é hat n=hat r, então
sigmap =hat r!cdot!(P0R,hat r) =P0R

Passo 4

Avaliar a carga ligada total
Qp =underbraceintegral0^R(-3P0),4pi r^2drQvol +underbraceintegral!r=R(P0R),dAQsup
O volume dá
Qvol =-3P0,4piintegral0^Rr^2dr =-3P0,4pi;R^33 =-4pi P0R^3,
e a superfície
Qsup =P0R;4pi R^2 =4pi P0R^3
Somando, Qp=-4pi P0R^3+4pi P0R^3=0.

Passo 5

Determinar D(r) pela lei de Gauss para vec D:
ointD!cdot!dA=Qlivre=0
Pela simetria esférica D=D(r),hat r e
D(r),4pi r^2=0Rightarrow D(r)=0
tanto para r<R quanto para r>R.

Resposta

(a) rhop=-3P0 no interior e sigmap=P0R na superfície r=R.
(b) Qp=0.
(c) D(r)=0 para r<R e para r>R.

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