Uma carga está distribuída uniformemente sobre as paredes de um tubo circular de raio e altura .
Mostre que o potencial elétrico sobre o eixo do tubo, porém interno é
Passo 1
Temos um tubo oco de raio b e altura h com carga total Q uniformemente distribuída sobre a superfície lateral. A densidade superficial é
sigma = Q2pi b h
Queremos o potencial elétrico V(z) no ponto sobre o eixo do tubo a uma distância z da base, com 0<= z<= h. Vamos usar a expressão do potencial devido a um elemento de carga e depois integrar em z' ao longo da altura.
Passo 2
Dividimos o tubo em anéis finos de espessura dz' localizados em z'. Cada anel tem carga
dq = sigma ,(2pi b),dz'
e fica a uma distância
R = raizb^2 + (z - z')^2
do ponto de interesse. Logo o potencial devido a esse anel é
dV = 14pivarepsilon0dqR = sigma,2pi b4pivarepsilon0dz'raizb^2+(z-z')^2 = sigma,b2varepsilon0dz'raizb^2+(z-z')^2
Passo 3
Somando todos os anéis de z'=0 até z'=h obtemos
V(z) = sigma,b2varepsilon0 integral0^h dz'raizb^2 + (z - z')^2
Passo 4
Fazemos a mudança de variável
u = z - z', du = -dz',
de modo que quando z'=0 temos u=z e quando z'=h temos u=z-h=-(h-z). Assim