Uma carga Q está distribuída uniformemente sobre as paredes de um tubo circular de raio b e altura h.
Mostre que o potencial elétrico sobre o eixo do tubo, porém interno (z <= h) é
V=b sigma2 varepsilon0 ln [(z+raizb^2+z^2)(h-z+raizb^2+(h-z)^2)b^2]

Passo 1

Temos um tubo oco de raio b e altura h com carga total Q uniformemente distribuída sobre a superfície lateral. A densidade superficial é
sigma = Q2pi b h
Queremos o potencial elétrico V(z) no ponto sobre o eixo do tubo a uma distância z da base, com 0<= z<= h. Vamos usar a expressão do potencial devido a um elemento de carga e depois integrar em z' ao longo da altura.

Passo 2

Dividimos o tubo em anéis finos de espessura dz' localizados em z'. Cada anel tem carga
dq = sigma ,(2pi b),dz'
e fica a uma distância
R = raizb^2 + (z - z')^2
do ponto de interesse. Logo o potencial devido a esse anel é
dV = 14pivarepsilon0dqR = sigma,2pi b4pivarepsilon0dz'raizb^2+(z-z')^2 = sigma,b2varepsilon0dz'raizb^2+(z-z')^2

Passo 3

Somando todos os anéis de z'=0 até z'=h obtemos
V(z) = sigma,b2varepsilon0 integral0^h dz'raizb^2 + (z - z')^2

Passo 4

Fazemos a mudança de variável
u = z - z', du = -dz',
de modo que quando z'=0 temos u=z e quando z'=h temos u=z-h=-(h-z). Assim
integral0^hdz'raizb^2+(z-z')^2 = integralu=z^u=-(h-z) -,duraizb^2+u^2 = integralu=-(h-z)^u=z duraizb^2+u^2

Passo 5

Sabemos que
integral duraizb^2+u^2 = asinh!l(tfracubr) = ln!l(ub + raiz1+u^2b^2r)
Logo
integral-(h-z)^zduraizb^2+u^2 = asinh!l(tfraczbr) - asinh!l(-tfrach-zbr) = asinh!l(tfraczbr) + asinh!l(tfrach-zbr)

Passo 6

Convertendo cada asinh em logaritmo e somando as parcelas,
asinh!l(tfraczbr) = ln!l(z + raizb^2+z^2br), asinh!l(tfrach-zbr) = ln!l(h-z + raizb^2+(h-z)^2br)
Assim o integral vale
ln!l[l(z+raizb^2+z^2r)l(h-z+raizb^2+(h-z)^2r)b^2r]
Multiplicando pelo fator tfracsigma b2varepsilon0 obtemos o resultado desejado.

Resposta

V(z) = b,sigma2varepsilon0 ln!gl[ l(z+raizb^2+z^2r),l(h-z+raizb^2+(h-z)^2r)b^2 gr]

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