A carga elétrica de um circuito RC satisfaz a seguinte equação
sendo R e C constantes (resistência e capacitância). Usando o método da transformada de Fourier, demonstre que a solução
pode ser escrita como
sendo
.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem para a carga elétrica num circuito RC:
com condição inicial
. O conteúdo é o método da transformada de Fourier para resolver EDO com condição inicial. Vamos precisar da definição da transformada de Fourier e da sua propriedade para derivadas, além de inverter a transformada por integração de contorno.
Passo 2
Definimos a transformada de Fourier bilateral de
(assumindo
para
) como
A propriedade para a derivada diz:
Também vale
Passo 3
Aplicando a transformada de Fourier em toda a EDO, obtemos
Reagrupando em
,
Passo 4
Para voltar ao domínio do tempo, fazemos a transformada inversa
Essa integral pode ser avaliada por contorno: para
fecha-se o contorno no semiplano inferior, capturando o polo simples em
. O resíduo vale
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