A carga elétrica de um circuito RC satisfaz a seguinte equação
\dot{q}+\frac{1}{R C} q=0
sendo R e C constantes (resistência e capacitância). Usando o método da transformada de Fourier, demonstre que a solução q(t) pode ser escrita como
q(t)=q_{0} e^{-t / R C}
sendo \mathrm{q}_{0}=\mathrm{q}(\mathrm{t}=0).

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem para a carga elétrica num circuito RC:
\dot{q}(t) + \frac{1}{R\,C}\,q(t) = 0,
com condição inicial q(0)=q_{0}. O conteúdo é o método da transformada de Fourier para resolver EDO com condição inicial. Vamos precisar da definição da transformada de Fourier e da sua propriedade para derivadas, além de inverter a transformada por integração de contorno.

Passo 2

Definimos a transformada de Fourier bilateral de q(t) (assumindo q(t)=0 para t<0) como
Q(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} q(t)\,e^{-\,i\omega t}\,\mathrm{d}t.
A propriedade para a derivada diz:
\mathcal{F}\{\dot{q}(t)\} = \int_{-\infty}^{\infty} \dot{q}(t)\,e^{-\,i\omega t}\,\mathrm{d}t = i\omega\,Q(\omega)\;-\;q(0).
Também vale
\mathcal{F}\{q(t)\} = Q(\omega).

Passo 3

Aplicando a transformada de Fourier em toda a EDO, obtemos
\mathcal{F}\{\dot{q}(t)\} \;+\;\frac{1}{R\,C}\,\mathcal{F}\{q(t)\} = 0 \;\Longrightarrow\; \bigl(i\omega\,Q(\omega)-q_{0}\bigr) + \frac{1}{R\,C}\,Q(\omega) = 0.
Reagrupando em Q(\omega),
\bigl(i\omega + \tfrac{1}{R\,C}\bigr)\,Q(\omega) = q_{0} \quad\Longrightarrow\quad Q(\omega) = \frac{q_{0}}{i\omega + \tfrac{1}{R\,C}}.

Passo 4

Para voltar ao domínio do tempo, fazemos a transformada inversa
q(t) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}Q(\omega)\,e^{\,i\omega t}\,\mathrm{d}\omega = \frac{q_{0}}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{\,i\omega t}}{i\omega + \tfrac{1}{R\,C}}\,\mathrm{d}\omega.
Essa integral pode ser avaliada por contorno: para t>0 fecha-se o contorno no semiplano inferior, capturando o polo simples em \omega=-\,i/(R\,C). O resíduo vale
\mathrm{Res} = \lim_{\omega\to -\,\tfrac{i}{R\,C}} (\omega + \tfrac{i}{R\,C})\frac{e^{\,i\omega t}}{i\omega + \tfrac{1}{R\,C}} = e^{-\,t/(R\,C)}.
Logo
q(t) = \frac{q_{0}}{2\pi}\bigl(2\pi i\cdot(-i)\bigr)\,e^{-\,t/(R\,C)} = q_{0}\,e^{-\,t/(R\,C)}.

Resposta

q(t)=q_{0}\,e^{-\,t/(R\,C)}.

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