A Função de Green \mathrm{G}(x \mid \xi) relaciona a resposta de um sistema físico, descrito por uma equação diferencial e sujeito a certas condições de contorno Considerando a equação diferencial ordinária
\frac{\mathrm{d}^{2}}{\mathrm{~d} x^{2}} \mathrm{G}(x \mid \xi)-\alpha^{2} \mathrm{G}(x \mid \xi)=\delta(x-\xi)
para -\infty<x<\infty, onde \xi é um parâmetro e \alpha^{2}>0.
a) Mostre que a transformada de Fourier de \mathrm{G}(x \mid \xi) é dada por
\mathcal{F}\{\mathrm{G}(x \mid \xi)\}=\mathrm{G}(\mathrm{k} \mid \xi)=-\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \frac{e^{\mathrm{ik} \xi}}{\mathrm{k}^{2}+\alpha^{2}}
b) Mostre que a solução \mathrm{G}(x \mid \xi) da equação (1) é dada pela transformada inversa de Fourier
\mathrm{G}(x \mid \xi)=\mathcal{F}^{-1}\{\mathrm{G}(\mathrm{k} \mid \xi)\}=-\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\mathrm{e}^{-i \mathrm{k}(x-\xi)}}{\mathrm{k}^{2}+\alpha^{2}} \mathrm{dk}

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial ordinária
\frac{\mathrm{d}^{2}}{\mathrm{d}x^{2}}G(x\mid\xi)-\alpha^{2}G(x\mid\xi)=\delta(x-\xi),
para -\infty<x<\infty e \alpha^{2}>0. Queremos usar a transformada de Fourier para resolver essa ODE, obtendo primeiro \mathcal{F}\{G(x\mid\xi)\} e depois a transformada inversa para voltar a G(x\mid\xi).

Passo 2

Definimos a transformada de Fourier de G(x\mid\xi) por
\hat G(k\mid\xi)=\mathcal{F}\{G(x\mid\xi)\} =\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{ikx}\,G(x\mid\xi)\,\mathrm{d}x.
Aplicando a transformada em cada termo da ODE, usamos as propriedades
\mathcal{F}\{\tfrac{\mathrm{d}^{2}}{\mathrm{d}x^{2}}G\}=-k^{2}\,\hat G(k\mid\xi), \quad \mathcal{F}\{\alpha^{2}G\}=\alpha^{2}\,\hat G(k\mid\xi), \quad \mathcal{F}\{\delta(x-\xi)\}=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{ik\xi}.
Isso leva a
\bigl(-k^{2}-\alpha^{2}\bigr)\,\hat G(k\mid\xi) =\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\,e^{ik\xi}.

Passo 3

Resolvendo algebricamente para \hat G(k\mid\xi), obtemos
\hat G(k\mid\xi) =-\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\;\frac{e^{ik\xi}}{k^{2}+\alpha^{2}}.
Isto é exatamente a expressão pedida em (a).

Passo 4

Agora fazemos a transformada inversa de Fourier para voltar a x. Temos
G(x\mid\xi) =\mathcal{F}^{-1}\{\hat G(k\mid\xi)\} =\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ikx}\,\hat G(k\mid\xi)\,\mathrm{d}k.
Substituindo \hat G(k\mid\xi) da etapa anterior, resulta
G(x\mid\xi) =-\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{-ikx}\,e^{ik\xi}}{k^{2}+\alpha^{2}} \,\mathrm{d}k =-\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{-ik(x-\xi)}}{k^{2}+\alpha^{2}}\,\mathrm{d}k,
que coincide com o que se pedia em (b).

Resposta

a) \displaystyle \mathcal{F}\{G(x\mid\xi)\}=\hat G(k\mid\xi) =-\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\;\frac{e^{ik\xi}}{k^{2}+\alpha^{2}}.
b) \displaystyle G(x\mid\xi) =-\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{-ik(x-\xi)}}{k^{2}+\alpha^{2}}\,\mathrm{d}k.

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