A Função de Green
relaciona a resposta de um sistema físico, descrito por uma equação diferencial e sujeito a certas condições de contorno Considerando a equação diferencial ordinária
para
, onde
é um parâmetro e
.
a) Mostre que a transformada de Fourier de
é dada por
b) Mostre que a solução
da equação (1) é dada pela transformada inversa de Fourier
a) Mostre que a transformada de Fourier de
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial ordinária
para
e
. Queremos usar a transformada de Fourier para resolver essa ODE, obtendo primeiro
e depois a transformada inversa para voltar a
.
Passo 2
Definimos a transformada de Fourier de
por
Aplicando a transformada em cada termo da ODE, usamos as propriedades
Isso leva a
Passo 3
Resolvendo algebricamente para
, obtemos
Isto é exatamente a expressão pedida em (a).
Passo 4
Agora fazemos a transformada inversa de Fourier para voltar a
. Temos
Substituindo
da etapa anterior, resulta
que coincide com o que se pedia em (b).
Resposta
a)
b)
b)