Foi mostrado que a transformada de Fourier de uma distribuição gaussiana é dada por
sendo
uma constante positiva. Usando a transformada inversa de Fourier definida por
, calcule
.
Passo 1
O enunciado nos dá a transformada de Fourier de uma gaussiana
e pede que, usando a inversa
encontremos
. Vamos fazer isso passo a passo.
Passo 2
Substituindo
na integral inversa e tirando constantes fora do integral, obtemos
Passo 3
Reconhecemos o integral gaussiano com termo linear em
. Em geral, para
e
, vale
Aqui podemos escrever
com
Passo 4
Aplicando a fórmula ao nosso caso, temos
Passo 5
Voltando a
e juntando as constantes,