Foi mostrado que a transformada de Fourier de uma distribuição gaussiana é dada por
\mathcal{F}\{f(x)\}=F(k)=\frac{N}{\sqrt{2 \alpha}} e^{-k^{2} / 4 \alpha} .
sendo \alpha uma constante positiva. Usando a transformada inversa de Fourier definida por \mathcal{F}^{-1}\{\mathrm{~F}(\mathrm{k})\}= \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} F(k) e^{-j k x} d k, calcule f(x).

Passo 1

O enunciado nos dá a transformada de Fourier de uma gaussiana
\mathcal{F}\{f(x)\}=F(k)=\frac{N}{\sqrt{2\alpha}}\,e^{-k^{2}/4\alpha}
e pede que, usando a inversa
\mathcal{F}^{-1}\{F(k)\} =\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}F(k)\,e^{-jkx}\,dk,
encontremos f(x). Vamos fazer isso passo a passo.

Passo 2

Substituindo F(k) na integral inversa e tirando constantes fora do integral, obtemos
f(x) =\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty}\frac{N}{\sqrt{2\alpha}} e^{-k^{2}/4\alpha}\,e^{-jkx}\,dk =\frac{N}{\sqrt{2\alpha}\,\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\,\frac{k^{2}}{4\alpha}-jkx}\,dk.

Passo 3

Reconhecemos o integral gaussiano com termo linear em k. Em geral, para \Re(a)>0 e b\in\mathbb{C}, vale
\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-a k^{2}+b k}\,dk =\sqrt{\frac{\pi}{a}}\;\exp\!\Bigl(\frac{b^{2}}{4a}\Bigr).
Aqui podemos escrever
-\,\frac{k^{2}}{4\alpha}-jkx =-a k^{2}+b k
com
a=\frac{1}{4\alpha}, \quad b=-j\,x.

Passo 4

Aplicando a fórmula ao nosso caso, temos
\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\,\frac{k^{2}}{4\alpha}-jkx}\,dk =\sqrt{\frac{\pi}{1/(4\alpha)}}\, \exp\!\Bigl(\frac{(-jx)^{2}}{4\,(1/(4\alpha))}\Bigr) =2\sqrt{\pi\,\alpha}\;e^{-\alpha x^{2}}.

Passo 5

Voltando a f(x) e juntando as constantes,
f(x) =\frac{N}{\sqrt{2\alpha}\,\sqrt{2\pi}}\;\bigl[2\sqrt{\pi\alpha}\,e^{-\alpha x^{2}}\bigr] =\;N\,e^{-\alpha x^{2}}.

Resposta

\displaystyle f(x)=N\,e^{-\alpha x^{2}}

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