Todos nós reclamamos que não há horas suficientes em um dia. Em uma tentativa de consertar isso, suponha que todas as pessoas do mundo se alinhem no Equador e
comecem a correr para o leste a 2,50 \mathrm{~m} / \mathrm{s} em relação à superfície terrestre. De quanto é o aumento do comprimento do dia? Suponha que a população mundial seja 7,00 \times 10^{9} pessoas, com massa média de 55,0 \mathrm{~kg} cada, e que a Terra seja uma esfera homogênea sólida. Dependendo dos detalhes de sua solução, você pode usar a aproximação
\frac{1}{1-x} \approx 1+x \quad \text { para } x \ll 1 .

Passo 1

O enunciado pede o aumento do período de rotação da Terra quando todas as pessoas (cada uma de massa média 55,0\:\mathrm{kg}) correm para o leste à velocidade 2,50\:\mathrm{m/s} na Linha do Equador. O conteúdo é conservação do momento angular do sistema Terr a+pessoas, e vamos precisar de
1. cálculo do momento angular adquirido pelas pessoas,
2. momento de inércia da Terra como esfera sólida homogênea,
3. relação entre variação de momento angular e variação de período.

Passo 2

Quando as pessoas começam a correr, cada uma adquire, em relação a um referencial inercial, um momento angular extra
\Delta L_{\text{pessoa}} = m\,R\,v_{\text{corrida}}
onde m=55,0\:\mathrm{kg}, R=6,37\times10^{6}\:\mathrm{m} é o raio da Terra e v_{\text{corrida}}=2,50\:\mathrm{m/s}. Como há N=7,00\times10^{9} pessoas, o momento angular total cedido à elas é
\Delta L_{\text{pessoas}} = N\,m\,R\,v_{\text{corrida}} = (7,00\times10^{9})(55,0)(6,37\times10^{6})(2,50) \approx 6{,}14\times10^{18}\:\mathrm{kg\,m^{2}/s}.

Passo 3

O momento de inércia da Terra, tomada como esfera homogênea, é
I_{\text{Terra}} = \frac{2}{5}\,M_{\text{Terra}}\,R^{2}
com M_{\text{Terra}}=5,97\times10^{24}\:\mathrm{kg}. Logo,
I_{\text{Terra}} = \frac{2}{5}(5,97\times10^{24})(6,37\times10^{6})^{2} \approx 9{,}70\times10^{37}\:\mathrm{kg\,m^{2}}.

Passo 4

Como não há torque externo, o momento angular total se conserva:
I_{\text{Terra}}\,\omega_{\text{inicial}} +0 =I_{\text{Terra}}\,\omega_{\text{final}} +\Delta L_{\text{pessoas}},
mas como \Delta L_{\text{pessoas}} é ganho pelas pessoas, a Terra perde esse valor, de modo que
I_{\text{Terra}}\,( \omega_{\text{final}}-\omega_{\text{inicial}} ) = -\,\Delta L_{\text{pessoas}} \quad\Longrightarrow\quad \Delta\omega =\omega_{\text{final}}-\omega_{\text{inicial}} =-\frac{\Delta L_{\text{pessoas}}}{I_{\text{Terra}}} \approx -\frac{6{,}14\times10^{18}}{9{,}70\times10^{37}} \approx -6{,}33\times10^{-20}\:\mathrm{rad/s}.

Passo 5

O período de rotação da Terra é T=2\pi/\omega. Para pequenas variações usamos
T_{\text{final}} =\frac{2\pi}{\omega_{\text{inicial}}+\Delta\omega} \approx \frac{2\pi}{\omega_{\text{inicial}}}\,\frac{1}{1+\frac{\Delta\omega}{\omega_{\text{inicial}}}} \approx T\bigl(1-\frac{\Delta\omega}{\omega_{\text{inicial}}}\bigr).
Como \omega_{\text{inicial}}=2\pi/(86400\:\mathrm{s})\approx7,27\times10^{-5}\:\mathrm{rad/s} e \Delta\omega<0, a variação do período é
\Delta T =T_{\text{final}}-T \approx -T\,\frac{\Delta\omega}{\omega} \;=\;(86400)\,\frac{6{,}33\times10^{-20}}{7{,}27\times10^{-5}} \approx 7{,}5\times10^{-11}\:\mathrm{s}.

Resposta

O dia aumenta em cerca de 7,5\times10^{-11}\:\mathrm{s}.

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