A carga elétrica que circula em um circuito LRC satisfaz à seguinte equação diferencial:
e
. Resolva esta equação.
Passo 1
E aí, beleza? Temos que resolver a equação diferencial de um circuito LRC:
com as condições iniciais
e
. Isso é uma eq. linear de 2ª ordem com coeficientes constantes e termo forçado. Pra resolver, a gente vai:
- achar a solução geral da parte homogênea,
- achar uma solução particular (método dos coeficientes a determinar),
- aplicar as condições iniciais pra fixar as constantes.
Passo 2
Conteúdo: solução da parte homogênea.
A eq. homogênea é
A eq. homogênea é
Achar as raízes do polinômio característico
Então a solução homogênea é
Passo 3
Conteúdo: método dos coeficientes a determinar para a parte particular.
Como o forçamento é , a gente tenta
Como o forçamento é , a gente tenta
Calcula derivadas:
Substituindo em e agrupando coeficientes de
e
, obtemos o sistema
Ou seja
Resolvendo: da 2ª eq.
. Substituindo na 1ª:
Logo
Passo 4
Conteúdo: combinação geral e aplicação das condições iniciais.
Solução geral:
Solução geral:
Agora
dá
Para
, derivando e avaliando em
:
Em
:
Substituindo
:
Passo 5
Então a solução completa é