A carga elétrica que circula em um circuito LRC satisfaz à seguinte equação diferencial:
d^2 qd t^2+20 d qd t+2600 q=1000 sen 60 t
com q(0)=0 e q^prime(0)=0. Resolva esta equação.

Passo 1

E aí, beleza? Temos que resolver a equação diferencial de um circuito LRC:
com as condições iniciais d^2qdt^2 + 20,dqdt + 2600,q = 1000sen(60t), e . Isso é uma eq. linear de 2ª ordem com coeficientes constantes e termo forçado. Pra resolver, a gente vai:
  1. achar a solução geral da parte homogênea,
  2. achar uma solução particular (método dos coeficientes a determinar),
  3. aplicar as condições iniciais pra fixar as constantes.

Passo 2

Conteúdo: solução da parte homogênea.
A eq. homogênea é
q'' + 20q' + 2600q = 0
Achar as raízes do polinômio característico
r^2 + 20r + 2600 = 0 Longrightarrow r = -20 pm raiz20^2 - 4cdot26002 = -10 pm 50,i
Então a solução homogênea é
qh(t) = e^-10tl(Acos(50t) + Bsin(50t)r)

Passo 3

Conteúdo: método dos coeficientes a determinar para a parte particular.
Como o forçamento é , a gente tenta
qp(t) = Csin(60t) + Dcos(60t)
Calcula derivadas:
qp' = 60Ccos(60t) - 60Dsin(60t), qp'' = -3600Csin(60t) - 3600Dcos(60t)
Substituindo em e agrupando coeficientes de (-3600C -1200D +2600C) = 1000, (-3600D +1200C +2600D) = 0 e -1000,C -1200,D = 1000, 1200,C -1000,D = 0 , obtemos o sistema
-1000cdot56D -1200D =1000 ;Longrightarrow; -5000+72006D =1000 ;Longrightarrow; D = -600012200 = -3061,
Ou seja
C = 56D = -2561
Resolvendo: da 2ª eq. qp(t) = -2561sin(60t) ;-;3061cos(60t) . Substituindo na 1ª:
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Passo 4

Conteúdo: combinação geral e aplicação das condições iniciais.
Solução geral:
q(t) = qh(t) + qp(t) = e^-10tl(Acos(50t) + Bsin(50t)r) - 2561sin(60t) - 3061cos(60t)
Agora A - tfrac3061 = 0 ;Longrightarrow; A = tfrac3061
q'(t) = e^-10tl(-10Acos50t -50Asin50t -10Bsin50t +50Bcos50tr) + l(-tfrac2561cdot60cos60t + tfrac3061cdot60sin60tr)
Para q'(0) = -10A + 50B - 150061 = 0 , derivando e avaliando em -10cdot3061 +50B - 150061 = 0 ;Longrightarrow; 50B = 180061 ;Longrightarrow; B = 3661 :
Em :
Substituindo :

Passo 5

Então a solução completa é
q(t) = e^-10tl(3061cos(50t) + 3661sin(50t)r) - 2561sin(60t) - 3061cos(60t)

Resposta

boxed q(t) = e^-10tl(tfrac3061cos(50t) + tfrac3661sin(50t)r) - tfrac2561sin(60t) - tfrac3061cos(60t)

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