Determine as soluções estacionárias dos seguintes sistemas mecânicos.
ddoty+3 doty+2 y=10 sen t

Passo 1

Então, a questão manda: “Determine as soluções estacionárias do sistema
Isso é Equação Diferencial Ordinária (EDO) linear de 2º grau com coeficientes constantes, forçada por .
O que vamos usar:
  • A ideia de “solução estacionária” é achar a parte da resposta que não morre com o tempo (o regime permanente), ou seja, o comportamento senoidal que fica depois que o transiente desaparece.
  • Método dos coeficientes a determinar (undetermined coefficients).
A partir daí, a gente monta um “chute” pro tipo de forçamento (sen e cos), calcula derivadas, substitui na EDO e acha os coeficientes.

Passo 2

Proponho uma solução estacionária (particular) do tipo
porque o forçamento é . Essa é a ideia do método: a curva de entrada (seno) “puxa” a saída no mesmo formato (seno e cosseno).

Passo 3

Calcular as derivadas de dot yp = Acos t - Bsen t, ddot yp = -Asen t - Bcos t :
Só usar as regrinhas de derivadas de seno e cosseno.

Passo 4

Agora substituo na EDO :
Juntando termos em e em (-Asen t - Bcos t) +3,(Acos t - Bsen t) +2,(Asen t + Bcos t) =10sen t :
  • Coeficiente de : (A - 3B),sen t ;+;(3A + B),cos t ;=;10,sen t + 0cdotcos t
  • Coeficiente de :
Então a identidade fica

Passo 5

Igualando coeficientes dá o sistema linear
A - 3B = 10, 3A + B = 0
Da segunda equação A -3(-3A)=10 ;Rightarrow; A +9A=10 ;Rightarrow; 10A=10 ;Rightarrow; A=1 , tiramos . Substituindo em :
Logo .

Passo 6

Logo, a solução estacionária (aquela que fica no regime permanente) é

Resposta

A solução estacionária do sistema é

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