Determine as soluções estacionárias dos seguintes sistemas mecânicos.
Passo 1
Então, a questão manda: “Determine as soluções estacionárias do sistema
Isso é Equação Diferencial Ordinária (EDO) linear de 2º grau com coeficientes constantes, forçada por .
O que vamos usar:
O que vamos usar:
- A ideia de “solução estacionária” é achar a parte da resposta que não morre com o tempo (o regime permanente), ou seja, o comportamento senoidal que fica depois que o transiente desaparece.
- Método dos coeficientes a determinar (undetermined coefficients).
A partir daí, a gente monta um “chute” pro tipo de forçamento (sen e cos), calcula derivadas, substitui na EDO e acha os coeficientes.
Passo 2
Proponho uma solução estacionária (particular) do tipo
porque o forçamento é . Essa é a ideia do método: a curva de entrada (seno) “puxa” a saída no mesmo formato (seno e cosseno).
Passo 3
Calcular as derivadas de
:
Só usar as regrinhas de derivadas de seno e cosseno.
Passo 4
Agora substituo na EDO :
Juntando termos em e em
:
- Coeficiente de :
- Coeficiente de
:
Então a identidade fica
Passo 5
Igualando coeficientes dá o sistema linear
Da segunda equação
, tiramos
. Substituindo em
:
Logo
.
Passo 6
Logo, a solução estacionária (aquela que fica no regime permanente) é
Resposta
A solução estacionária do sistema é