1. Uma carga elétrica posicionada em um ponto no espaço tem a capacidade de gerar campo elétrico e também potencial elétrico em seu entorno. Tanto o campo quanto o potencial elétrico dependem da intensidade da carga elétrica e da posição do ponto em que se quer analisar, ou seja, a distância entre a carga e o ponto em questāo.
Considerando que uma constante K_{O}=1 /\left(4 \pi \varepsilon d=9.10^{9} \mathrm{~N} \cdot \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{C}^{2}\right., determine o campo e o potencial elétrico em um ponto \mathrm{O}(3,1,-2), gerados por uma carga de 2,5 \mu \mathrm{C} situada na origem.
\bigcirc A. -10 kV .
\bigcirc B. -6 kV .
\bigcirc C. 0 V .
\bigcirc D. 6 kV .
\bigcirc E. 10 kV .

Passo 1

O que o enunciado dá:
  • Constante eletrostática K_{0}=9\cdot 10^{9}\\ \mathrm{N\cdot m^{2}/C^{2}}.
  • Carga puntiforme q=2{,}5\\ \mu\mathrm{C}=2{,}5\cdot 10^{-6}\\ \mathrm{C} localizada na origem (0,0,0).
  • Ponto onde queremos calcular campo e potencial: O(3,1,-2) (assumimos unidades em metros).
    O que é pedido:
  • Determinar o campo elétrico \mathbf{E} no ponto O.
  • Determinar o potencial elétrico V no ponto O.
    (Observação: o enunciado também apresenta alternativas numéricas para o potencial; vamos calcular o valor e comparar.)

Passo 2

Fórmulas e explicação das quantidades usadas (aula rápida e direta):
  • Potencial elétrico devido a uma carga pontual em distância r:
V=\frac{K_{0}\,q}{r}.
Aqui V é o potencial em volts, K_{0} é a constante dada, q é a carga em coulombs e r é a distância do ponto à carga em metros.
  • Campo elétrico devido a uma carga pontual (vetor):
\mathbf{E}=K_{0}\,q\,\frac{\mathbf{r}}{r^{3}}.
Aqui \mathbf{r} é o vetor posição do ponto (do centro da carga até o ponto), r=\|\mathbf{r}\| é o comprimento desse vetor, e \mathbf{E} tem unidade \mathrm{N/C}. Essa fórmula vem da versão vetorial da Lei de Coulomb: o campo é radial (direção de \mathbf{r}) e tem intensidade K_{0}q/r^{2}; escrevemos em forma vetorial como acima para obter os componentes diretamente.
  • Atenção à unidade da carga: converti \mu\mathrm{C} para C.

Passo 3

Calcular o vetor posição e a distância:
  • Vetor posição do ponto O em relação à origem:
\mathbf{r}=(3,\,1,\,-2)\\ \mathrm{m}.
  • Distância r=\|\mathbf{r}\|=\sqrt{3^{2}+1^{2}+(-2)^{2}}=\sqrt{9+1+4}=\sqrt{14}. \] - Valor numérico aproximado: \[r=\sqrt{14}\approx 3{,}741657\\ \mathrm{m}.\]

Passo 4

Calcular o potencial V usando V=K_{0}q/r:
  • Primeiro calculei o produto K_{0}q:
K_{0}q=9\cdot 10^{9}\times 2{,}5\cdot 10^{-6}=22{,}5\cdot 10^{3}=22500.
(A unidade resultante é \mathrm{N\cdot m^{2}/C^{2}}\times\mathrm{C}=\mathrm{N\cdot m^{2}/C} que, dividido por metros, dá volts.)
  • Então
V=\frac{22500}{\sqrt{14}}\\ \mathrm{V}.
  • Valor numérico aproximado:
V\approx\frac{22500}{3{,}741657}\approx 6012{,}6\\ \mathrm{V}\approx 6{,}01\\ \mathrm{kV}.
Portanto o potencial no ponto O é aproximadamente 6012{,}6\\ \mathrm{V} (positivo, pois a carga é positiva). Isso corresponde à alternativa prática de cerca de 6\\ \mathrm{kV}.

Passo 5

Calcular o campo elétrico \mathbf{E}:
  • Usamos a forma vetorial
\mathbf{E}=K_{0}q\,\frac{\mathbf{r}}{r^{3}}.
  • Já sabemos K_{0}q=22500 e r^{3}=(\sqrt{14})^{3}=14\sqrt{14}.
  • Escrevendo em forma de componentes:
\mathbf{E}=\frac{22500}{14\sqrt{14}}\,(3,\,1,\,-2)\\ \mathrm{N/C}.
  • Para obter valores numéricos, calculei o denominador aproximado:
r^{3}=14\sqrt{14}\approx 14\times 3{,}741657\approx 52{,}383203.
  • Numerador por componente: 22500\cdot 3=67500, 22500\cdot 1=22500, 22500\cdot(-2)=-45000.
  • Dividindo:
E_{x}\approx\frac{67500}{52{,}383203}\approx 1288{,}6\\ \mathrm{N/C},
E_{y}\approx\frac{22500}{52{,}383203}\approx 429{,}5\\ \mathrm{N/C},
E_{z}\approx\frac{-45000}{52{,}383203}\approx -859{,}1\\ \mathrm{N/C}.
  • Podemos também verificar a magnitude pela fórmula escalar E=K_{0}q/r^{2}:
E=\frac{22500}{14}\approx 1607{,}142857\\ \mathrm{N/C},
e \sqrt{1288{,}6^{2}+429{,}5^{2}+(-859{,}1)^{2}}\approx 1607{,}1, compatível (checa de consistência).
  • Observação física: o campo aponta radialmente para fora (componentes proporcionais a (3,1,-2)), porque a carga é positiva.

Passo 6

Resumo final dos valores calculados (valores aproximados, com casas decimais razoáveis):
  • Campo elétrico em O: \mathbf{E}(3,1,-2)\approx(1288{,}6,\;429{,}5,\;-859{,}1)\\ \mathrm{N/C}.
  • Potencial em O: V(3,1,-2)\approx 6012{,}6\\ \mathrm{V}\approx 6{,}01\\ \mathrm{kV}, logo a alternativa correta dentre as dadas é 6\\ \mathrm{kV} (alternativa D).

Resposta

\mathbf{E}(3,1,-2)=(1288{,}6,\;429{,}5,\;-859{,}1)\\ \mathrm{N/C}\n
V(3,1,-2)=\dfrac{22500}{\sqrt{14}}\\ \mathrm{V}\approx 6012{,}6\\ \mathrm{V}\approx 6{,}01\\ \mathrm{kV}\n
\text{(D) }6\\ \mathrm{kV}

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