O rendimento de um transformador de 20 \mathrm{kVA}, 1200 \mathrm{~V} / 120 \mathrm{~V} é máximo a 50 \% da carga nominal e vale então 98 \%. Calcule o rendimento a plena carga em porcentagem. ( 1,5 \mathrm{pts} )

Passo 1

Dados fornecidos:
\begin{aligned} &\text{Potência nominal (apparent): }20\\ \mathrm{kVA},\\\ &\text{Tensão: }1200\\ \mathrm{V}/120\\ \mathrm{V}\\ (\text{dado, mas não será necessário nos cálculos}),\\\ &\text{A eficiência é máxima a }50\%\text{ da carga nominal e vale }98\%. \end{aligned}êããáááêéá
O que se pede:
\text{Calcular a eficiência do transformador à plena carga (}100\%\text{) em porcentagem.}êà

Passo 2

Primeiro precisamos traduzir a carga percentual em potência ativa de saída. Como o enunciado não fornece fator de potência, adotamos a hipótese usual adotada em exercícios desse tipo: fator de potência igual a 1 (ou seja, 1\\ \mathrm{kVA}=1\\ \mathrm{kW}). Então:
\text{Potência de saída à }50\%:\quad P_{\text{out},50}=0,5\times 20\\ \mathrm{kW}=10\\ \mathrm{kW}.êíà
\text{Potência de saída à }100\%:\quad P_{\text{out},100}=1\times 20\\ \mathrm{kW}=20\\ \mathrm{kW}.êíà

Passo 3

Vamos lembrar como modelar as perdas de um transformador (explicando devagarzinho):
  • As perdas no ferro (histerese + correntes parasitas) são praticamente constantes e independentes da carga; chamamos isso de P_{fe}.
  • As perdas no cobre (perdas ôhmicas nos enrolamentos) dependem da corrente e crescem como o quadrado da corrente, ou seja, proporcional ao quadrado da fração de carga. Se P_{cu,\text{full}} é a perda de cobre à plena carga, então, para uma fração de carga x,
P_{cu}(x)=x^{2}\,P_{cu,\text{full}}.
A eficiência instantânea é definida por
\eta=\frac{P_{\text{out}}}{P_{\text{out}}+P_{fe}+P_{cu}}.
Neste exercício usaremos essas relações para montar equações.

Passo 4

Usando o dado em 50\% (eficiência máxima e igual a 98\%), calculamos as perdas totais nesse ponto. Das fórmulas:
L_{50}=P_{fe}+P_{cu}(0,5)=P_{\text{out},50}\!\left(\frac{1}{\eta_{50}}-1\right).
Substituindo números:
L_{50}=10\\ \mathrm{kW}\left(\frac{1}{0,98}-1\right).
Calculemos passo a passo:
\frac{1}{0,98}=1,020408163\ldots,\quad \frac{1}{0,98}-1=0,020408163\ldots
L_{50}=10\times 0,020408163\ldots =0,2040816327\\ \mathrm{kW}=204,0816327\\ \mathrm{W}.

Passo 5

Agora usamos a condição de máxima eficiência. Para transformadores ideais de perda modelada assim, a eficiência é máxima quando as perdas de ferro e as perdas de cobre (naquele ponto de operação) são iguais. Ou seja, como o enunciado diz que a eficiência é máxima a 50\%:
P_{fe}=P_{cu}(0,5)=0,5^{2}P_{cu,\text{full}}=0,25\,P_{cu,\text{full}}.
Com isso, as perdas totais a 50\% são:
L_{50}=P_{fe}+0,25\,P_{cu,\text{full}}.
Mas como P_{fe}=0,25\,P_{cu,\text{full}}, temos
L_{50}=2\,P_{fe}.
Portanto
P_{fe}=\frac{L_{50}}{2}=\frac{0,2040816327}{2}=0,1020408163\\ \mathrm{kW}=102,0408163\\ \mathrm{W}.
E a perda de cobre à plena carga é
P_{cu,\text{full}}=4\,P_{fe}=4\times 0,1020408163=0,4081632652\\ \mathrm{kW}=408,1632652\\ \mathrm{W}.

Passo 6

Com P_{fe} e P_{cu,\text{full}} conhecidos, calculamos as perdas totais à plena carga:
L_{100}=P_{fe}+P_{cu,\text{full}}=0,1020408163+0,4081632652=0,5102040815\\ \mathrm{kW}=510,2040815\\ \mathrm{W}.

Passo 7

Finalmente a eficiência à plena carga é
\eta_{100}=\frac{P_{\text{out},100}}{P_{\text{out},100}+L_{100}}=\frac{20}{20+0,5102040815}.
Calculando:
20+0,5102040815=20,5102040815,
\eta_{100}=\frac{20}{20,5102040815}=0,9751020408\ldots
Convertendo para porcentagem e arredondando razoavelmente:
\eta_{100}\approx 97,51\%.
Pronto — deu um pouco menos que os 98\% do ponto ótimo (isso é normal porque no ponto de máxima eficiência as perdas estão balanceadas; ao aumentar a carga as perdas de cobre crescem).

Resposta

97,51\%

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