Um transformador de 50 \mathrm{kVA}, 2300 / 230 \mathrm{~V}, 60 \mathrm{~Hz}, consome 200 \mathrm{We} 0,30 \mathrm{~A} a vazio, quando 2300 V são aplicados ao lado de alta tensão. A resistência do primário é 3,5 \Omega. Desprezando a queda na reatância de dispersão, determine:
a) O fator de potência a vazio.
b) A corrente de magnetização.
c) A componente de corrente de perda no núcleo.

Passo 1

O enunciado dá um transformador com as seguintes informações importantes que vamos usar:
\begin{aligned} &\text{Potência aparente nominal: }50\\ \mathrm{kVA}\\ (\text{não usada diretamente aqui}),\\\ &\text{Tensão do lado de alta (aplicada no ensaio a vazio): }V_1=2300\\ \mathrm{V},\\\ &\text{Frequência: }60\\ \mathrm{Hz}\\ (\text{não necessária para os cálculos pedidos}),\\\ &\text{Corrente a vazio medida: }I_0=0,30\\ \mathrm{A},\\\ &\text{Potência consumida a vazio (entrada): }P_{in}=200\\ \mathrm{W},\\\ &\text{Resistência do primário (série): }R_1=3{,}5\\ \Omega. \end{aligned}êããêãááêêáé
As perguntas do enunciado são:
a) Determinar o fator de potência a vazio.
b) Determinar a corrente de magnetização (componente reativa da corrente a vazio).
c) Determinar a componente de corrente de perda no núcleo (componente em fase com a tensão, que fornece a perda no ferro).

Passo 2

Entendendo o que é pedido e as relações básicas (aula rápida e prática):
  • O fator de potência a vazio é dado por razão entre a potência real de entrada e a potência aparente da entrada:
\text{pf}_0=\frac{P_{in}}{V_1 I_0}.
Aqui P_{in} é a potência total absorvida do alimentador (contém perdas no núcleo e perdas ôhmicas no primário), V_1 é a tensão aplicada e I_0 é a corrente a vazio medida.
  • A corrente a vazio I_0 tem duas componentes (representação fasorial): uma componente em fase com a tensão, I_c, que fornece a potência consumida no núcleo (perdas no ferro) e uma componente reativa quadratura (defasada 90°), I_m, que é a corrente magnetizante. Em símbolos:
I_0^2 = I_c^2 + I_m^2.
  • Atenção: parte da potência em fase medida P_{in} é dissipada no resistor de enrolamento R_1 (perda ôhmica a vazio), igual a P_{cu}=I_0^2 R_1. Portanto a potência que efetivamente alimenta as perdas no núcleo é
P_{\text{ferro}} = P_{in} - P_{cu}.
Essa potência no núcleo relaciona-se com I_c e com a tensão no ramo magnetizante V_m por
I_c=\frac{P_{\text{ferro}}}{V_m}.
  • Como a queda de tensão na reatância de dispersão foi desprezada, o circuito equivalente reduz-se a R_1 em série com o ramo magnetizante; a tensão no ramo magnetizante é
V_m = V_1 - I_0 R_1.
No nosso caso a queda I_0 R_1 será muito pequena, mas vamos calculá‑la e usá‑la para ser rigoroso.

Passo 3

Calculemos o fator de potência a vazio usando a fórmula direta:
\text{pf}_0=\frac{P_{in}}{V_1 I_0}=\frac{200}{2300\cdot 0{,}30}.
Faço a conta passo a passo:
2300\cdot 0{,}30 = 690,
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\text{pf}_0=\frac{200}{690}\approx 0{,}2899.
Interpretação: a corrente a vazio é predominantemente reativa (magnetizante), então o fator de potência é baixo e a vazio a corrente é defasada (lagging) em relação à tensão, porque o ramo magnetizante é indutivo.

Passo 4

Calculemos agora a perda ôhmica no primário (perda a cobre sob corrente de vazio):
P_{cu}=I_0^2 R_1=(0{,}30)^2\cdot 3{,}5.
Passo a passo:
(0{,}30)^2=0{,}09,
P_{cu}=0{,}09\cdot 3{,}5=0{,}315\\ \mathrm{W}.
Isso mostra que a maior parte dos 200\\ \mathrm{W} não é perda ôhmica (só 0,315 W), mas sim perda no núcleo.

Passo 5

Agora a potência consumida no núcleo (perda no ferro) é
P_{\text{ferro}}=P_{in}-P_{cu}=200-0{,}315=199{,}685\\ \mathrm{W}.

Passo 6

A tensão no ramo magnetizante é
V_m=V_1-I_0 R_1=2300-0{,}30\cdot 3{,}5.
Calculando:
0{,}30\cdot 3{,}5=1{,}05,
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V_m=2300-1{,}05=2298{,}95\\ \mathrm{V}.
Observação: como previsto, a queda é muito pequena comparada a 2300\\ \mathrm{V}.

Passo 7

A corrente em fase com a tensão no ramo do núcleo (componente de perda no núcleo) é
I_c=\frac{P_{\text{ferro}}}{V_m}=\frac{199{,}685}{2298{,}95}.
Fazendo a divisão:
I_c\approx 0{,}086863\\ \mathrm{A}\\ (\approx 0{,}0869\\ \mathrm{A}).

Passo 8

A componente magnetizante (reativa) é a componente quadrática restante:
I_m=\sqrt{I_0^2-I_c^2}=\sqrt{(0{,}30)^2-(0{,}086863)^2}.
Calculemos:
(0{,}30)^2=0{,}09,\qquad (0{,}086863)^2\approx 0{,}007548,
I_m=\sqrt{0{,}09-0{,}007548}=\sqrt{0{,}082452}\approx 0{,}28721\\ \mathrm{A}.

Resposta

(a) \text{pf}_0\approx 0{,}2899 (lagging)
(b) I_m\approx 0{,}287\\ \mathrm{A}
(c) I_c\approx 0{,}0869\\ \mathrm{A}

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