Uma carga elétrica positiva Q está distribuida uniformemente ao longo De um condutor fino e muito longo, de comprimento L A densidade linear de Carga é
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Caso o condutor fosse infinito, qual seria o campo elétrico?
Caso o condutor fosse infinito, qual seria o campo elétrico?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma carga elétrica positiva Q distribuída de forma uniforme ao longo de um condutor fino e muito longo com comprimento L. A densidade linear de carga é dada por $ \lambda = \frac{Q}{L} $. A pergunta é: se esse condutor fosse infinito, qual seria o campo elétrico gerado por ele? Para resolver isso, vamos usar o conceito de campo elétrico de uma linha de carga infinita e aplicar a Lei de Gauss.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a densidade linear de carga. Ela nos diz quanta carga elétrica existe por unidade de comprimento do condutor. No caso, $ \lambda = \frac{Q}{L} $.
Passo 3
Agora, para encontrar o campo elétrico de uma linha de carga infinita, a melhor ferramenta é a Lei de Gauss. A Lei de Gauss relaciona o fluxo do campo elétrico através de uma superfície fechada com a carga total dentro dessa superfície.
Passo 4
Vamos imaginar uma superfície gaussiana adequada para este problema. Como o condutor é infinito e a carga está distribuída uniformemente, uma boa escolha é um cilindro coaxial com o condutor. O comprimento do cilindro pode ser $ L $, e seu raio será $ r $.
Passo 5
O fluxo elétrico $ \Phi_E $ através da superfície gaussiana é igual ao campo elétrico $ E $ multiplicado pela área da superfície lateral do cilindro, já que as extremidades do cilindro não contribuem para o fluxo devido à simetria. A área lateral é $ 2\pi r L $.
Passo 6
De acordo com a Lei de Gauss:
Aqui, $ Q_{enc} $ é a carga total dentro do cilindro gaussiano. Como a densidade linear de carga é $ \lambda $, e o comprimento do cilindro é $ L $, temos $ Q_{enc} = \lambda L $.
Passo 7
Substituindo $ Q_{enc} $ na equação:
Podemos simplificar $ L $ dos dois lados:
Passo 8
Agora, isolamos o campo elétrico $ E $:
Esse é o campo elétrico gerado por uma linha de carga infinita a uma distância $ r $ da linha.
Resposta
O campo elétrico devido a um condutor infinito com densidade linear de carga $ \lambda = \frac{Q}{L} $ é dado por: