A carga em função do tempo em um circuito R L C é dada pela equação:
q=A e^{-(R / 2 L) t} \cos \left(\sqrt{\frac{1}{L C}-\frac{R^{2}}{4 L^{2}}} t+\varphi\right)
a) Sabendo que Q=20 C, e L=0,1 H, C=0,1 F e \Phi=0 \mathrm{rad}, qual o valor da resistência para que o sistema oscile?
b) Sabendo que Q_{\text {тот }}=20 Cтот, e L=0,1 H, C=0,1 F, R=1,2 \Omega e \Phi =0 \mathrm{rad}, construa o gráfico da corrente em função do tempo, em escala e contendo pelo menos duas oscilações.

Passo 1

O enunciado dá a carga em função do tempo num circuito RLC subamortecido:
q(t)=A\,e^{-(R/2L)t}\cos\!\Bigl(\sqrt{\tfrac1{LC}-\tfrac{R^2}{4L^2}}\;t+\varphi\Bigr)
com A=Q e \varphi=0.
(a) Pede o valor de R para que haja oscilação (isto é, para que o termo sob a raiz seja positivo).
(b) Com R=1{,}2\\ \Omega, pede o gráfico de i(t)=\tfrac{dq}{dt} em escala, mostrando pelo menos duas oscilações.

Passo 2

Para oscilar precisamos que
\frac1{LC}-\frac{R^2}{4L^2}>0
ou seja
R^2<4\,\frac{L}{C} \quad\Longrightarrow\quad R<2\sqrt{\frac{L}{C}}.

Passo 3

Substituindo L=0,1\\ \mathrm H e C=0,1\\ \mathrm F vem
R<2\sqrt{\frac{0,1}{0,1}}=2\\ \Omega.

Passo 4

Para o item (b) usamos R=1,2\\ \Omega, L=0,1\\ \mathrm H, C=0,1\\ \mathrm F.
Definimos
\alpha=\frac{R}{2L}=\frac{1,2}{2\cdot0,1}=6\\ \mathrm s^{-1},
\omega=\sqrt{\frac1{LC}-\alpha^2} =\sqrt{100-6^2}=8\\ \mathrm{rad/s},
e o período
T=\frac{2\pi}{\omega}\approx\frac{2\pi}{8}\approx0,785\\ \mathrm s.

Passo 5

A corrente é
i(t)=\frac{dq}{dt} =\frac{d}{dt}\Bigl[20\,e^{-6t}\cos(8t)\Bigr] =20\,e^{-6t}\bigl[-6\cos(8t)-8\sin(8t)\bigr]\\ \mathrm A.

Passo 6

O módulo máximo decai como
I_{\rm env}(t)=20\sqrt{6^2+8^2}\,e^{-6t}=200\,e^{-6t}\,\mathrm A,
e em t=0 temos i(0)=-120\\ \mathrm A.

Passo 7

Para desenhar o gráfico de i(t):
– Eixo horizontal de t de 0 a 2T\approx1,57\\ \mathrm s.
– Eixo vertical de i de -120 até +120\\ \mathrm A.
– Traçar duas oscilações de frequência angular \omega=8\\ \mathrm{rad/s} com amplitude delimitada pelas curvas i=\pm200\,e^{-6t}.

Resposta

a) O sistema oscila se
R<2\sqrt{\frac{L}{C}}=2\;\Omega.
b) A corrente é
i(t)=20\,e^{-6t}\bigl[-6\cos(8t)-8\sin(8t)\bigr]\\ \mathrm A,
com período T\approx0,785\\ \mathrm s.
O gráfico deve mostrar de t=0 até t\approx1,57\\ \mathrm s duas oscilações amortecidas, encaixadas entre as curvas de envelope i=\pm200\,e^{-6t}.

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