Um resistor, um indutor e um capacitor são ligados em paralelo com uma fonte CA com amplitude de voltagem V_{0} e frequência angular \omega. Suponha que a voltagem instantânea da fonte seja dada por v(t)=V_{0} \cos (\omega t).
a) Desenvolva as expressões para as correntes i_{C}, i_{L} e i_{R} que passam nos elementos do circuito em função das respectivas reatâncias e/ou resistências, bem como em função de V_{0}, \omega e t.
b) Demonstre matematicamente quais são os ângulos das defasagens das correntes em relação às tensões dos elementos do circuito. As defasagens obtidas neste tipo de circuito se comportam como no circuito conectado em série? Justifique.
\begin{aligned} & \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}}=9,0 \times 10^{9} \quad N \cdot \mathrm{~m}^{2} / C^{2} \quad \int \frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{x}}=\ln |\mathrm{x}| \\\ & \epsilon_{0}=8,854 \times 10^{-12} \quad \mathrm{C}^{2} / \mathrm{N} \cdot \mathrm{~m}^{2} \quad \mathrm{e}=1,6 \times 10^{-19} \mathrm{C} \\\ & \int \frac{\mathrm{dx}}{\sqrt{\mathrm{a}^{2}-\mathrm{x}^{2}}}=\operatorname{arcsen}\left(\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{a}}\right) \quad \int \frac{\mathrm{dx}}{\sqrt{\mathrm{a}^{2}+\mathrm{x}^{2}}}=\ln \left(\mathrm{x}+\sqrt{\mathrm{x}^{2}+\mathrm{a}^{2}}\right) \\\ & \int \frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{a}^{2}+\mathrm{x}^{2}}=\frac{1}{\mathrm{a}} \operatorname{arctg}\left(\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{a}}\right) \quad \int \frac{\mathrm{dx}}{\left(\mathrm{a}^{2}+\mathrm{x}^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}=\frac{1}{\mathrm{a}^{2}} \frac{\mathrm{x}}{\sqrt{\mathrm{x}^{2}+\mathrm{a}^{2}}} \\\ & \int \frac{\mathrm{x} \mathrm{dx}}{\left(\mathrm{a}^{2}+\mathrm{x}^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}=-\frac{1}{\sqrt{\mathrm{x}^{2}+\mathrm{a}^{2}}} \quad \int \frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{a}+\mathrm{bx}}=\frac{\ln (\mathrm{a}+\mathrm{bx})}{\mathrm{b}} \\\ & \mu_{0}=4 \pi \times 10^{-7} \mathrm{~T} \cdot \mathrm{~m} / \mathrm{A} \end{aligned}

Passo 1

O enunciado dá um circuito paralelo com um resistor R, um indutor L e um capacitor C ligados a uma fonte de tensão v(t)=V_{0}\cos(\omega t). Pede em (a) as expressões de corrente em cada ramal em função de V_{0}, \omega, t e das reatâncias (ou R); em (b) os ângulos de defasagem de cada corrente em relação à tensão e comparação com o circuito série. O conteúdo usado será análise de circuitos CA com reatâncias, cálculo de derivada e integral de cosseno e uso de fasores.

Passo 2

A tensão comum em cada ramo é
v(t)=V_{0}\cos(\omega t).
Para o resistor, aplica-se a lei de Ohm:
i_{R}(t)=\frac{v(t)}{R}=\frac{V_{0}}{R}\cos(\omega t).
Para o capacitor, usa-se i_{C}=C\,\frac{dv}{dt}. Como
\frac{dv}{dt}=-V_{0}\,\omega\sin(\omega t),
segue
i_{C}(t)=-\omega C\,V_{0}\sin(\omega t).
Usando \sin(\omega t)=-\cos\bigl(\omega t+\tfrac{\pi}{2}\bigr) e definindo
X_{C}=\frac{1}{\omega C},
temos
i_{C}(t)=\omega C\,V_{0}\cos\Bigl(\omega t+\tfrac{\pi}{2}\Bigr) =\frac{V_{0}}{X_{C}}\cos\Bigl(\omega t+\tfrac{\pi}{2}\Bigr).
Para o indutor, parte-se de v=L\,\frac{di_{L}}{dt}. Sendo
\int v\,dt=\int V_{0}\cos(\omega t)\,dt =\frac{V_{0}}{\omega}\sin(\omega t),
vem
i_{L}(t)=\frac{1}{L}\,\frac{V_{0}}{\omega}\sin(\omega t) =\frac{V_{0}}{\omega L}\sin(\omega t).
Usando \sin(\omega t)=\cos\bigl(\omega t-\tfrac{\pi}{2}\bigr) e definindo
X_{L}=\omega L,
obtém-se
i_{L}(t)=\frac{V_{0}}{X_{L}}\cos\Bigl(\omega t-\tfrac{\pi}{2}\Bigr).

Passo 3

Das expressões em forma de cosseno com deslocamento angular, lemos diretamente as fases:
i_{R}(t)=\frac{V_{0}}{R}\cos(\omega t)\quad\Longrightarrow\quad\phi_{R}=0,
i_{C}(t)=\frac{V_{0}}{X_{C}}\cos\Bigl(\omega t+\tfrac{\pi}{2}\Bigr) \quad\Longrightarrow\quad\phi_{C}=+\tfrac{\pi}{2},
i_{L}(t)=\frac{V_{0}}{X_{L}}\cos\Bigl(\omega t-\tfrac{\pi}{2}\Bigr) \quad\Longrightarrow\quad\phi_{L}=-\tfrac{\pi}{2}.
Ou seja, em relação à tensão comum: a corrente no resistor não se defasa, no capacitor ela adianta 90^\circ e no indutor atrasa 90^\circ.

Passo 4

No circuito série a corrente é comum e são as tensões nos elementos que se defasam em \pm90^\circ em relação à corrente. Aqui, em paralelo, a tensão é comum e são as correntes que se defasam \pm90^\circ em relação à tensão. Portanto, embora a magnitude das defasagens 90^\circ seja a mesma, o que se defasa em relação ao quê (tensão versus corrente) troca de papel: é análogo, mas não idêntico ao caso série.

Resposta

a)
i_{R}(t)=\frac{V_{0}}{R}\cos(\omega t),
i_{C}(t)=\frac{V_{0}}{X_{C}}\cos\Bigl(\omega t+\tfrac{\pi}{2}\Bigr),
i_{L}(t)=\frac{V_{0}}{X_{L}}\cos\Bigl(\omega t-\tfrac{\pi}{2}\Bigr),
com X_{C}=1/(\omega C) e X_{L}=\omega L.
b) \phi_{R}=0, \phi_{C}=+\tfrac{\pi}{2}, \phi_{L}=-\tfrac{\pi}{2}. Essas defasagens têm a mesma magnitude de 90^\circ que aparecem no circuito série, mas ali são as tensões que se defasam em relação à corrente, enquanto aqui são as correntes em relação à tensão.

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