[2] Um fio metálico de resistência R, é enrolado num cilindro de madeira de raio \quad a \quad e comprimento \quad l_{1}, ficando com \quad N espiras bem juntas umas das outras, formando uma bobina. As extremidades do fio são ligadas a um gerador que fornece uma fem alternada de frequência \omega e amplitude máxima \varepsilon_{0}. Calcule:
a) A autoindutância L da bobina.
b) A corrente i(t) através da bobina, a impedância a diferença de fase \varphi entre a corrente e a fem aplicada e esboce graficamente no plano complexo essa defasagem.

Passo 1

O enunciado descreve uma bobina N espiras bem justas, enrolada num cilindro de raio a e comprimento l_{1}, com resistência ôhmica total R. Essa bobina é alimentada por uma fonte de fem alternada de amplitude máxima \varepsilon_{0} e frequência angular \omega. Vamos usar conceitos de indutância de um solenoide e de circuito RL em regime estacionário senoidal para obter (a) a autoindutância L e (b) a corrente i(t), a impedância Z, o desfasamento \varphi e o diagrama fasorial.

Passo 2

Para um solenoide longo de N espiras, área de seção transversal A=\pi a^2 e comprimento l_{1}, a autoindutância em meio não magnético (madeira no núcleo) é
L = \mu_{0}\,\frac{N^{2}\,A}{l_{1}}
onde \mu_{0} é a permeabilidade do vácuo. Substituindo A,
L = \mu_{0}\,\frac{N^{2}\,\pi a^{2}}{l_{1}}\,.

Passo 3

No domínio fasorial, a bobina tem resistência R e reatância indutiva \omega L, de modo que a impedância é
Z = R + j\,\omega L\,.
Dessa forma o módulo e a fase de Z são
|Z| = \sqrt{R^{2} + (\omega L)^{2}} \quad\text{e}\quad \varphi = \arg(Z) = \arctan\!\Bigl(\frac{\omega L}{R}\Bigr)\,.
Como \omega L>0, a corrente atrasará a tensão de \varphi.

Passo 4

O valor eficaz da corrente fasorial é
I = \frac{\varepsilon_{0}}{|Z|}\,\angle(-\varphi)\,,
logo no domínio do tempo, tomando referência \varepsilon(t)=\varepsilon_{0}\sin(\omega t), temos
i(t) = \frac{\varepsilon_{0}}{\sqrt{R^{2}+(\omega L)^{2}}}\, \sin\bigl(\omega t - \varphi\bigr)\,,
com \varphi dado acima.

Passo 5

No plano complexo dos fasores, coloca-se o fasor da tensão \boldsymbol{V} ao longo do eixo real e o fasor da corrente \boldsymbol{I} defasado para baixo em \varphi. Assim o vetor \boldsymbol{I} fica girado de -\varphi em relação a \boldsymbol{V}, ilustrando o atraso da corrente.

Resposta

a) \displaystyle L = \mu_{0}\,\frac{N^{2}\,\pi a^{2}}{l_{1}}.
b) \displaystyle Z = R + j\,\omega L, \displaystyle |Z| = \sqrt{R^{2}+(\omega L)^{2}}, \displaystyle \varphi = \arctan\!\bigl(\tfrac{\omega L}{R}\bigr),
i(t) = \frac{\varepsilon_{0}}{\sqrt{R^{2}+(\omega L)^{2}}} \sin\bigl(\omega t - \varphi\bigr),
e o diagrama fasorial mostra o fasor de corrente atrasado em \varphi atrás do da tensão.

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