A carga em função do tempo em um circuito RLC é dada pela equação:
q=A e^-(R / 2 L) t cos (raiz1L C-R^24 L^2 t+phi)
Sabendo que Q TOT =20 C, e L=0,1 H, C=0,1 F, R=1,2 Omega e Phi=0 rad, construa o gráfico da corrente em função do tempo, em escala e contendo pelo menos duas oscilações.

Passo 1

Beleza, aqui a questão diz que num circuito RLC a carga varia no tempo como
q(t)=A,e^-tfracR2L,tcos!l(raiztfrac1LC-tfracR^24L^2,t+phir)
aí dão , , , e .
O que querem é a corrente com essas constantes e depois um gráfico mostrando pelo menos duas oscilações.
Matéria envolvida: circuito RLC subamortecido, exponencial amortecida e derivada de função do tipo .

Passo 2

Primeiro identificamos o fator de amortecimento
alpha=R2L=1,22cdot0,1=6 s^-1
e a pulsação própria
omega0=1raizLC=1raiz0,1cdot0,1=10 rad/s
Como o circuito é subamortecido ( omegad=raizomega0^2-alpha^2=raiz10^2-6^2=8 rad/s ), a pulsação amortecida é

Passo 3

Agora derivamos
q(t)=A,e^-alpha tcos(omegad t)
(com i(t)=dqdt =Addtl[e^-alpha tcos(omegad t)r] =Al(-alpha e^-alpha tcosomegad t -e^-alpha t,omegadsinomegad tr) ). A derivada é

Passo 4

Jogando i(t) =-20,e^-6tl(6cos(8t)+8sin(8t)r)(em ampères) , e , fica
è

Passo 5

Para saber até que tempo ir, calcula o período amortecido:
Td=2piomegad=2pi8=pi4approx0,785 rm s
Duas oscilações cabem em .

Passo 6

Escolhe no gráfico o eixo de 0 a 1,6 s e o eixo de digamos –140 A a +140 A (pois no início  A). A curva é uma senoide de frequência  rad/s, decaindo com envelope .

Passo 7

Esboço qualitativo:
  • Em ,  A.
  • Em  s cruza zero e chega ao pico positivo menos que +120 A.
  • Vai oscilando com amplitude caindo rápido (depois de 1 s já é bem menor).
  • Em  s já deu duas oscilações e amplitude caiu para , quase zero.

Resposta

Fórmula final da corrente:
boxedi(t)=-20,e^-6tl[6cos(8t)+8sin(8t)r] A
Gráfico de de a  s, eixo vertical de −140 A a +140 A, mostrando duas oscilações amortecidas (período  s) com envelope .

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