Uma carga de impedância Z = 10 + j30 ohms é alimentada com tensão eficaz V =
.
Determinar:
a) O fator de potência e as potências ativa e reativa que a carga consome;
b) A corrente na linha de alimentação da carga;
c) O capacitor a ser ligado em paralelo com a mesma para aumentar o fator de potência para 0.85;
d) A nova corrente na linha de alimentação, após a colocação do capacitor;
e) A variação percentual das perdas na linha, considerando as perdas antes da colocação do capacitor e após a colocação do mesmo.
Determinar:
a) O fator de potência e as potências ativa e reativa que a carga consome;
b) A corrente na linha de alimentação da carga;
c) O capacitor a ser ligado em paralelo com a mesma para aumentar o fator de potência para 0.85;
d) A nova corrente na linha de alimentação, após a colocação do capacitor;
e) A variação percentual das perdas na linha, considerando as perdas antes da colocação do capacitor e após a colocação do mesmo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema envolve conceitos de impedância, fator de potência, potência ativa e reativa, corrente elétrica, e correção do fator de potência usando capacitores. Para resolver isso, vamos usar fórmulas de eletricidade e circuitos AC. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos entender a impedância da carga. A impedância é dada por $ Z = 10 + j30 $ ohms. Aqui, 10 ohms é a parte real (resistiva) e $ j30 $ ohms é a parte imaginária (reativa). A tensão eficaz fornecida é $ V = 220 , V $ a $ 60 , Hz $.
Passo 3
Para encontrar o fator de potência, precisamos calcular o ângulo de fase entre a tensão e a corrente. O fator de potência (FP) é o cosseno desse ângulo. Primeiro, vamos encontrar a magnitude da impedância:
Passo 4
Agora, vamos calcular a corrente na linha usando a Lei de Ohm para AC:
Passo 5
O fator de potência é o cosseno do ângulo de fase, que podemos encontrar usando a parte real e a magnitude da impedância:
Passo 6
Agora, vamos calcular as potências ativa ($ P
Q $) consumidas pela carga. A potência ativa é dada por:
A potência reativa é:
Passo 7
Para a parte b, já calculamos a corrente na linha, que é aproximadamente $ 6.96 , A $.
Passo 8
Agora, para melhorar o fator de potência para 0.85, precisamos adicionar um capacitor que fornece potência reativa de compensação ($ Q_c
Q’ $) é:
Resolvendo para $ Q_c $:
Primeiro, encontramos $ Q’ $:
Então,
Assim,
Para encontrar a capacitância ($ C $), usamos:
Passo 9
Com o capacitor adicionado, temos uma nova impedância total. A potência reativa agora é $ Q’ = 302.1 , VAR $. Vamos recalcular a corrente na linha:
Então,
Passo 10
Finalmente, vamos calcular a variação percentual das perdas na linha. As perdas são proporcionais ao quadrado da corrente. Antes da colocação do capacitor:
Após a colocação do capacitor:
A variação percentual é:
No entanto, parece que houve um erro nos cálculos. Vamos revisar o passo 8.
Passo 11
Revisando o passo 8, percebemos que a potência reativa desejada $ Q’ $ deveria ser tal que o fator de potência seja 0.85:
Agora, recalculando a capacitância:
Com isso, refazemos os cálculos para a nova corrente.
Passo 12
Com a correção, a nova impedância total após adicionar o capacitor é:
Então, a nova corrente é:
Porém, esse valor ainda parece elevado. O erro está na abordagem. Na verdade, a impedância total com o capacitor deve ser recalculada considerando a capacitância adicionada. Vamos refazer esse passo.
Passo 13
Após adicionar o capacitor, a nova reatância capacitiva $ X_c $ é:
A nova impedância total $ Z’ $ será:
A magnitude de $ Z’ $ é:
Então, a nova corrente é:
Passo 14
Agora, vamos calcular as perdas na linha antes e depois da colocação do capacitor. As perdas são dadas por $ P_{perdas} = I^2 \times R $.
Antes:
Após:
A variação percentual das perdas é:
Resposta
a) Fator de potência: 0,316; Potência ativa: 483,4 W; Potência reativa: 1454 VAR
b) Corrente na linha: 6,96 A
c) Capacitância a ser ligada: 9,7 mF
d) Nova corrente na linha após o capacitor: 0,9 A
e) Variação percentual das perdas na linha: redução de aproximadamente 98,34%
b) Corrente na linha: 6,96 A
c) Capacitância a ser ligada: 9,7 mF
d) Nova corrente na linha após o capacitor: 0,9 A
e) Variação percentual das perdas na linha: redução de aproximadamente 98,34%