Uma carga de impedância Z = 10 + j30 ohms é alimentada com tensão eficaz V = 220 V / 60 Hz.
Determinar:
a) O fator de potência e as potências ativa e reativa que a carga consome;
b) A corrente na linha de alimentação da carga;
c) O capacitor a ser ligado em paralelo com a mesma para aumentar o fator de potência para 0.85;
d) A nova corrente na linha de alimentação, após a colocação do capacitor;
e) A variação percentual das perdas na linha, considerando as perdas antes da colocação do capacitor e após a colocação do mesmo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema envolve conceitos de impedância, fator de potência, potência ativa e reativa, corrente elétrica, e correção do fator de potência usando capacitores. Para resolver isso, vamos usar fórmulas de eletricidade e circuitos AC. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos entender a impedância da carga. A impedância é dada por $ Z = 10 + j30 $ ohms. Aqui, 10 ohms é a parte real (resistiva) e $ j30 $ ohms é a parte imaginária (reativa). A tensão eficaz fornecida é $ V = 220 , V $ a $ 60 , Hz $.

Passo 3

Para encontrar o fator de potência, precisamos calcular o ângulo de fase entre a tensão e a corrente. O fator de potência (FP) é o cosseno desse ângulo. Primeiro, vamos encontrar a magnitude da impedância:
|Z| = raiz10^2 + 30^2 = raiz100 + 900 = raiz1000 approx 31.62 , Omega

Passo 4

Agora, vamos calcular a corrente na linha usando a Lei de Ohm para AC:
I = V|Z| = 22031.62 approx 6.96 , A

Passo 5

O fator de potência é o cosseno do ângulo de fase, que podemos encontrar usando a parte real e a magnitude da impedância:
FP = cos(phi) = Parte real|Z| = 1031.62 approx 0.316

Passo 6

Agora, vamos calcular as potências ativa ($ P P Q $) consumidas pela carga. A potência ativa é dada por:
Q
A potência reativa é:
P = V times I times cos(phi) = 220 times 6.96 times 0.316 approx 483.4 , W

Passo 7

Para a parte b, já calculamos a corrente na linha, que é aproximadamente $ 6.96 , A $.

Passo 8

Agora, para melhorar o fator de potência para 0.85, precisamos adicionar um capacitor que fornece potência reativa de compensação ($ Q_c Qc ê Q’ $) é:
Q'
Resolvendo para $ Q_c $:
FP' = 0.85 = PraizP^2 + (Q - Qc)^2
Primeiro, encontramos $ Q’ $:
Qc
Então,
Qc = Q - Q'
Assim,
Q'
Para encontrar a capacitância ($ C $), usamos:
cos^-1(0.85) approx 31.79^circ sin(31.79^circ) approx 0.525

Passo 9

Com o capacitor adicionado, temos uma nova impedância total. A potência reativa agora é $ Q’ = 302.1 , VAR $. Vamos recalcular a corrente na linha:
Q' = 302.1 , VAR
Então,
|Z'| = PV times cos(phi') = 483.4220 times 0.85 approx 483.4187 approx 2.59 , Omega

Passo 10

Finalmente, vamos calcular a variação percentual das perdas na linha. As perdas são proporcionais ao quadrado da corrente. Antes da colocação do capacitor:
Pperdas inicial propto I^2 = (6.96)^2 approx 48.5
Após a colocação do capacitor:
Pperdas final propto (I')^2 = (85.3)^2 approx 7271
A variação percentual é:
7271 - 48.548.5 times 100% approx 14981%
No entanto, parece que houve um erro nos cálculos. Vamos revisar o passo 8.

Passo 11

Revisando o passo 8, percebemos que a potência reativa desejada $ Q’ $ deveria ser tal que o fator de potência seja 0.85:
Q'
Agora, recalculando a capacitância:
FP' = PraizP^2 + (Q - Qc)^2 = 0.85 Rightarrow raizP^2 + (Q - Qc)^2 = P0.85 Rightarrow P^2 + (Q - Qc)^2 = (P0.85)^2 Rightarrow (Q - Qc)^2 = (P0.85)^2 - P^2 Rightarrow Q - Qc = raiz(483.40.85)^2 - 483.4^2 approx raiz817.5^2 - 483.4^2 approx raiz668,250 - 233,250 approx raiz435,000 approx 658.5 , VAR Rightarrow Qc = Q - 658.5 approx 1454 - 658.5 approx 795.5 , VAR
Com isso, refazemos os cálculos para a nova corrente.

Passo 12

Com a correção, a nova impedância total após adicionar o capacitor é:
|Z'| = PV times cos(phi') = 483.4220 times 0.85 approx 2.59 , Omega
Então, a nova corrente é:
I' = V|Z'| = 2202.59 approx 85.3 , A
Porém, esse valor ainda parece elevado. O erro está na abordagem. Na verdade, a impedância total com o capacitor deve ser recalculada considerando a capacitância adicionada. Vamos refazer esse passo.

Passo 13

Após adicionar o capacitor, a nova reatância capacitiva $ X_c $ é:
Xc
A nova impedância total $ Z’ $ será:
Xc = 12pi f C = 12 times pi times 60 times 0.0097 approx 274.4 , Omega
A magnitude de $ Z’ $ é:
Z'
Então, a nova corrente é:
Z' = R + j(XL - Xc) = 10 + j(30 - 274.4) = 10 - j244.4 , Omega

Passo 14

Agora, vamos calcular as perdas na linha antes e depois da colocação do capacitor. As perdas são dadas por $ P_{perdas} = I^2 \times R $.
Antes:
Pperdas = I^2 times R
Após:
Pperdas inicial = (6.96)^2 times 10 approx 48.5 times 10 = 485 , W
A variação percentual das perdas é:
Pperdas final = (0.9)^2 times 10 approx 0.81 times 10 = 8.1 , W

Resposta

a) Fator de potência: 0,316; Potência ativa: 483,4 W; Potência reativa: 1454 VAR
b) Corrente na linha: 6,96 A
c) Capacitância a ser ligada: 9,7 mF
d) Nova corrente na linha após o capacitor: 0,9 A
e) Variação percentual das perdas na linha: redução de aproximadamente 98,34%

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