As coordenadas de um corpo são dadas por x(t)=t^{2} e y(t)=(t-1)^{2}. Determine:
(a) a_{n} e a_{\tau} para um instante qualquer;
(b) a_{n} e a_{\tau} para t=1 s.
Passo 1
O enunciado dá as coordenadas do corpo em função do tempo:
x(t)=t^{2},\qquad y(t)=(t-1)^{2}.
Pede-se:
(a) as componentes normal e tangencial da aceleração, a_{n} e a_{\tau}, para um instante genérico t;
(b) os mesmos a_{n} e a_{\tau} avaliados em t=1\\ \text{s}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
A posição é \mathbf{r}(t)=(x(t),y(t)).
É preciso decompor a aceleração em componentes ao longo do versor tangente unitário \mathbf{\hat t} (componente tangencial a_{\tau}) e ao longo do versor normal unitário \mathbf{\hat n} (componente normal a_{n}).
Todas as variáveis dependem do tempo t.
Passo 2
Vou calcular primeiro velocidade, aceleração e a rapidez (módulo da velocidade). Essas são as ferramentas básicas úteis para encontrar a_{\tau} e a_{n}.
Se simplificar algebricamente dá a mesma expressão \dfrac{2}{\sqrt{\,2t^{2}-2t+1\,}} (pode-se verificar elevando ao quadrado e reduzindo), então está coerente.
Passo 6
Agora avalio para t=1\\ \text{s}.
Primeiro o polinômio dentro da raiz:
2t^{2}-2t+1\Big|_{t=1}=2-2+1=1.
Logo |\mathbf{v}(1)|=2\sqrt{1}=2.
Avalio a_{\tau}:
a_{\tau}(1)=\frac{4\cdot 1-2}{\sqrt{1}}=2.
Avalio a_{n}:
a_{n}(1)=\frac{2}{\sqrt{1}}=2.
Cheque rápido: |\mathbf{a}|=2\sqrt{2}\approx 2{,}828 e \sqrt{a_{\tau}^{2}+a_{n}^{2}}=\sqrt{2^{2}+2^{2}}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}, consistente.