As coordenadas de um corpo são dadas por x(t)=t^{2} e y(t)=(t-1)^{2}. Determine:
(a) a_{n} e a_{\tau} para um instante qualquer;
(b) a_{n} e a_{\tau} para t=1 s.

Passo 1

O enunciado dá as coordenadas do corpo em função do tempo:
x(t)=t^{2},\qquad y(t)=(t-1)^{2}.
Pede-se:
(a) as componentes normal e tangencial da aceleração, a_{n} e a_{\tau}, para um instante genérico t;
(b) os mesmos a_{n} e a_{\tau} avaliados em t=1\\ \text{s}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A posição é \mathbf{r}(t)=(x(t),y(t)).
  • É preciso decompor a aceleração em componentes ao longo do versor tangente unitário \mathbf{\hat t} (componente tangencial a_{\tau}) e ao longo do versor normal unitário \mathbf{\hat n} (componente normal a_{n}).
  • Todas as variáveis dependem do tempo t.

Passo 2

Vou calcular primeiro velocidade, aceleração e a rapidez (módulo da velocidade). Essas são as ferramentas básicas úteis para encontrar a_{\tau} e a_{n}.
Velocidade:
\mathbf{v}(t)=\frac{d\mathbf{r}}{dt}=(\dot x,\dot y)=(2t,\;2(t-1)).
Aceleração:
\mathbf{a}(t)=\frac{d\mathbf{v}}{dt}=(\ddot x,\ddot y)=(2,\;2).
Observação amigável: a aceleração é um vetor constante (2,2) — isso facilita contas depois.
Rapidez (módulo da velocidade) |\mathbf{v}|:
|\mathbf{v}(t)|=\sqrt{(2t)^{2}+[2(t-1)]^{2}} =2\sqrt{t^{2}+(t-1)^{2}}.
Calculo o polinômio dentro da raiz:
t^{2}+(t-1)^{2}=t^{2}+t^{2}-2t+1=2t^{2}-2t+1.
Portanto
|\mathbf{v}(t)|=2\sqrt{\,2t^{2}-2t+1\,}.

Passo 3

Agora lembro as definições e fórmulas que vou usar (explicadas de forma simples):
  • Versor tangente unitário \mathbf{\hat t} é a velocidade normalizada:
\mathbf{\hat t}=\frac{\mathbf{v}}{|\mathbf{v}|}.
  • O componente tangencial da aceleração a_{\tau} é a derivada da rapidez:
a_{\tau}=\frac{d}{dt}|\mathbf{v}|.
Equivalente (útil para checar): a_{\tau}=\mathbf{a}\cdot\mathbf{\hat t} (produto escalar com o versor tangente).
  • O componente normal da aceleração a_{n} pode ser obtido por duas fórmulas equivalentes:
    • Pela norma da parte perpendicular: a_{n}=\sqrt{|\mathbf{a}|^{2}-a_{\tau}^{2}}.
    • Ou usando o produto vetorial 2D (determinante) entre \mathbf{v} e \mathbf{a}:
a_{n}=\frac{|\mathbf{v}\times\mathbf{a}|}{|\mathbf{v}|},
onde em 2D o produto vetorial \mathbf{v}\times\mathbf{a} é o escalar v_x a_y - v_y a_x — ele mede a “taxa de curvatura” do movimento.
Explico cada símbolo:
  • \mathbf{v}=(v_x,v_y) é a velocidade.
  • \mathbf{a}=(a_x,a_y) é a aceleração.
  • |\cdot| é o módulo (norma) de um vetor.
  • \mathbf{\hat t} é o versor tangente (direção da velocidade).
  • a_{\tau} é um número real: componente de \mathbf{a} na direção tangente (pode ser negativo se a rapidez diminuir).
  • a_{n} é não-negativo: magnitude da componente normal (centrípeta) da aceleração.

Passo 4

Calculo a_{\tau} pela derivada da rapidez (método direto, que costuma ser o mais simples em prova).
Temos
|\mathbf{v}(t)|=2\sqrt{u(t)},\qquad u(t)=2t^{2}-2t+1.
Derivando:
\frac{d}{dt}|\mathbf{v}|=2\cdot\frac{1}{2}u^{-1/2}u'=\frac{u'}{\sqrt{u}}.
Calculo u'(t):
u'(t)=4t-2.
Logo
a_{\tau}(t)=\frac{4t-2}{\sqrt{\,2t^{2}-2t+1\,}}.
Posso fatorar para ficar mais compacto:
a_{\tau}(t)=\frac{2(2t-1)}{\sqrt{\,2t^{2}-2t+1\,}}.
Como checagem rápida, uso a outra expressão a_{\tau}=\mathbf{a}\cdot\mathbf{\hat t}. Primeiro o versor tangente:
\mathbf{\hat t}=\frac{\mathbf{v}}{|\mathbf{v}|}=\frac{(2t,\;2(t-1))}{2\sqrt{\,2t^{2}-2t+1\,}}=\frac{(t,\;t-1)}{\sqrt{\,2t^{2}-2t+1\,}}.
Produto escalar com \mathbf{a}=(2,2):
\mathbf{a}\cdot\mathbf{\hat t}=\frac{2(t)+2(t-1)}{\sqrt{\,2t^{2}-2t+1\,}}=\frac{4t-2}{\sqrt{\,2t^{2}-2t+1\,}},
que coincide com a expressão obtida pela derivada — perfeito.

Passo 5

Calculo a_{n}. Vou usar a fórmula com o “produto vetorial” 2D porque fica bem direto.
Compute o determinante (produto vetorial escalar em 2D):
\mathbf{v}\times\mathbf{a}=v_x a_y - v_y a_x=(2t)\cdot 2 - 2(t-1)\cdot 2.
Simplifico:
\mathbf{v}\times\mathbf{a}=4t - 4(t-1)=4.
Ou seja, esse escalar é constante e igual a 4 (peguei isso diretamente das componentes de \mathbf{v} e \mathbf{a} calculadas antes).
Agora
a_{n}(t)=\frac{|\mathbf{v}\times\mathbf{a}|}{|\mathbf{v}|}=\frac{4}{2\sqrt{\,2t^{2}-2t+1\,}}=\frac{2}{\sqrt{\,2t^{2}-2t+1\,}}.
Verificação por outra fórmula: calcular |\mathbf{a}|=\sqrt{2^{2}+2^{2}}=2\sqrt{2}. Então
a_{n}=\sqrt{|\mathbf{a}|^{2}-a_{\tau}^{2}} =\sqrt{8-\left(\frac{4t-2}{\sqrt{\,2t^{2}-2t+1\,}}\right)^{2}}.
Se simplificar algebricamente dá a mesma expressão \dfrac{2}{\sqrt{\,2t^{2}-2t+1\,}} (pode-se verificar elevando ao quadrado e reduzindo), então está coerente.

Passo 6

Agora avalio para t=1\\ \text{s}.
Primeiro o polinômio dentro da raiz:
2t^{2}-2t+1\Big|_{t=1}=2-2+1=1.
Logo |\mathbf{v}(1)|=2\sqrt{1}=2.
Avalio a_{\tau}:
a_{\tau}(1)=\frac{4\cdot 1-2}{\sqrt{1}}=2.
Avalio a_{n}:
a_{n}(1)=\frac{2}{\sqrt{1}}=2.
Cheque rápido: |\mathbf{a}|=2\sqrt{2}\approx 2{,}828 e \sqrt{a_{\tau}^{2}+a_{n}^{2}}=\sqrt{2^{2}+2^{2}}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}, consistente.

Resposta

(a) a_{\tau}(t)=\dfrac{4t-2}{\sqrt{\,2t^{2}-2t+1\,}},\qquad a_{n}(t)=\dfrac{2}{\sqrt{\,2t^{2}-2t+1\,}}
(b) a_{\tau}(1)=2,\qquad a_{n}(1)=2

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