Determine a derivada de
em relação à variável independente dada. (Dica: use a derivação logarítmica).
Passo 1
O que o problema pede e o que foi dado:
- Pede-se a derivada da função dependente
em relação à variável independente . Ou seja, calcular para a função dada. - A função é
. - Informação importante sobre domínio: como a técnica que será usada envolve
, é necessário que para que tudo fique bem definido em números reais. (Se o enunciado aceitasse números complexos, seria outro papo; aqui assumimos .)
Passo 2
Ideia e primeiro passo operacional (logaritmo):
Quando a variável aparece tanto na base quanto no expoente, é muito prático aplicar logaritmo natural e usar diferenciação logarítmica. Isso transforma potências com expoente dependente em produtos, que são mais fáceis de derivar.
Quando a variável aparece tanto na base quanto no expoente, é muito prático aplicar logaritmo natural e usar diferenciação logarítmica. Isso transforma potências com expoente dependente em produtos, que são mais fáceis de derivar.
Aplicando
em ambos os lados (lembrando que
quando
):
Usando a propriedade
, obtemos:
Passo 3
Derivar ambos os lados em relação a
: explicando regras usadas.
- Lado esquerdo:
é uma função composta: depende de e estamos aplicando sobre . Pela regra da cadeia, a derivada de em relação a é . Ou seja, derivada de é . - Lado direito:
é produto de duas funções de : e . Para derivar produto usamos a regra do produto: .
Agora aplicar explicitamente:
Derivada do lado esquerdo:
Derivada do lado direito: primeiro calcule
e
.
-
, então . -
, então .
Aplicando regra do produto:
Passo 4
Simplificar a expressão obtida na derivação:
A segunda parcela do lado direito simplifica porque . Portanto, juntando tudo:
A segunda parcela do lado direito simplifica porque
Passo 5
Isolar
e escrever de forma prática (sem ainda substituir
explicitamente):
Multiplicando ambos os lados por ,
Multiplicando ambos os lados por
Isto já é uma forma útil: a derivada é a própria função
vezes um fator que veio da diferenciação logarítmica. Para obter a expressão somente em termos de
, agora basta lembrar que
e substituir caso seja necessário.
Passo 6
Comentário didático e dica rápida para a prova:
- A ideia-chave da diferenciação logarítmica é transformar potências com expoente variável em produtos, porque produtos são mais fáceis com a regra do produto.
- Sempre lembre: ao derivar
aparece — é aí que surge o multiplicando no final. - Um exemplo parecido e menor para lembrar: para
, faz-se e obtém-se . A mecânica é a mesma que aqui, só que com expoente mais simples.