Determine a derivada de y em relação à variável independente dada. (Dica: use a derivação logarítmica).
y=t^{t(t+1)}

Passo 1

O que o problema pede e o que foi dado:
  • Pede-se a derivada da função dependente y em relação à variável independente t. Ou seja, calcular \dfrac{dy}{dt} para a função dada.
  • A função é y = t^{t(t+1)}.
  • Informação importante sobre domínio: como a técnica que será usada envolve \ln t, é necessário que t>0 para que tudo fique bem definido em números reais. (Se o enunciado aceitasse números complexos, seria outro papo; aqui assumimos t>0.)

Passo 2

Ideia e primeiro passo operacional (logaritmo):
Quando a variável aparece tanto na base quanto no expoente, é muito prático aplicar logaritmo natural e usar diferenciação logarítmica. Isso transforma potências com expoente dependente em produtos, que são mais fáceis de derivar.
Aplicando \ln em ambos os lados (lembrando que y>0 quando t>0):
\ln y = \ln\bigl(t^{t(t+1)}\bigr).
Usando a propriedade \ln(a^b)=b\ln a, obtemos:
\ln y = t(t+1)\,\ln t.

Passo 3

Derivar ambos os lados em relação a t: explicando regras usadas.
  • Lado esquerdo: \ln y é uma função composta: y depende de t e estamos aplicando \ln sobre y. Pela regra da cadeia, a derivada de \ln y em relação a t é \dfrac{1}{y}\dfrac{dy}{dt}. Ou seja, derivada de \ln u é \dfrac{u'}{u}.
  • Lado direito: t(t+1)\ln t é produto de duas funções de t: u(t)=t(t+1) e v(t)=\ln t. Para derivar produto usamos a regra do produto: (uv)'=u'v+uv'.
Agora aplicar explicitamente:
Derivada do lado esquerdo:
\frac{d}{dt}(\ln y)=\frac{1}{y}\,\frac{dy}{dt}.
Derivada do lado direito: primeiro calcule u'(t) e v'(t).
  • u(t)=t(t+1)=t^2+t, então u'(t)=2t+1.
  • v(t)=\ln t, então v'(t)=\dfrac{1}{t}.
Aplicando regra do produto:
\frac{d}{dt}\bigl(t(t+1)\ln t\bigr)=(2t+1)\ln t + t(t+1)\cdot\frac{1}{t}.

Passo 4

Simplificar a expressão obtida na derivação:
A segunda parcela do lado direito simplifica porque t(t+1)\cdot\dfrac{1}{t}=t+1. Portanto, juntando tudo:
\frac{1}{y}\,\frac{dy}{dt}=(2t+1)\ln t + (t+1).

Passo 5

Isolar \dfrac{dy}{dt} e escrever de forma prática (sem ainda substituir y explicitamente):
Multiplicando ambos os lados por y,
\frac{dy}{dt}=y\left((2t+1)\ln t + (t+1)\right).
Isto já é uma forma útil: a derivada é a própria função y vezes um fator que veio da diferenciação logarítmica. Para obter a expressão somente em termos de t, agora basta lembrar que y=t^{t(t+1)} e substituir caso seja necessário.

Passo 6

Comentário didático e dica rápida para a prova:
  • A ideia-chave da diferenciação logarítmica é transformar potências com expoente variável em produtos, porque produtos são mais fáceis com a regra do produto.
  • Sempre lembre: ao derivar \ln y aparece \dfrac{y'}{y} — é aí que surge o y multiplicando no final.
  • Um exemplo parecido e menor para lembrar: para y=t^t, faz-se \ln y = t\ln t e obtém-se y' = t^t(1+\ln t). A mecânica é a mesma que aqui, só que com expoente mais simples.

Resposta

\frac{dy}{dt}=t^{t(t+1)}\left((2t+1)\ln t + t+1\right)

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