Reitz Milford:
2-5 Um disco circular, de raio
, tem uma densidade superficial uniforme de carga
. Determine o campo elétrico em um ponto sobre o eixo do disco a uma distância 2 do plano do disco.
Passo 1
O enunciado dá um disco circular de raio
com densidade superficial de carga uniforme
. Pede o campo elétrico em um ponto situado sobre o eixo do disco, à distância
do plano do disco.
Informações relevantes que vamos usar:
Informações relevantes que vamos usar:
- Raio do disco:
. - Densidade superficial uniforme:
(carga por unidade de área). - Ponto onde se quer o campo: distância
a partir do plano do disco, sobre o eixo do disco. - Quero encontrar o vetor campo elétrico
nesse ponto (módulo e direção, em função de , e ).
Passo 2
Raciocínio de simetria e escolha do elemento de integração.
Por simetria, o campo elétrico produzido por um disco carregado, no ponto sobre o eixo perpendicular ao disco, só tem componente ao longo desse eixo: todas as componentes laterais (paralelas ao plano do disco) se cancelam. Portanto vamos calcular apenas a componente axial .
Para integrar, cortamos o disco em anéis (circunferências de raio e espessura
). Cada anel é um elemento de área cuja carga podemos calcular e cuja contribuição ao campo axial é simples de obter.
Por simetria, o campo elétrico produzido por um disco carregado, no ponto sobre o eixo perpendicular ao disco, só tem componente ao longo desse eixo: todas as componentes laterais (paralelas ao plano do disco) se cancelam. Portanto vamos calcular apenas a componente axial
Para integrar, cortamos o disco em anéis (circunferências de raio
Passo 3
Carga de um anel e contribuição elementar ao campo.
Área do anel de raio e espessura
é
. Então a carga do anel é
Área do anel de raio
Considere um anel de raio
. Um elemento de carga
do anel, visto do ponto sobre o eixo a distância
, produz um campo de intensidade
ao longo da direção do elemento (distância do elemento ao ponto é
). A componente axial (ao longo do eixo) é multiplicada pelo cosseno do ângulo entre a linha que une o elemento e o eixo, que é
. Assim a contribuição axial do anel é
Passo 4
Substituir
e escrever a integral total.
Substituindo em
e fatorando constantes:
Substituindo
O campo total é a integração dos anéis de
até
:
Passo 5
Calcular a integral.
Faça a substituição . Então
ou
. Os limites transformam-se em: quando
temos
; quando
temos
. A integral fica
Faça a substituição
Agora integrar
:
Aplicando os limites:
Passo 6
Voltar para
e simplificar; então fixar
.
Substituindo o resultado da integral em :
Substituindo o resultado da integral em
Agora tomar
(a distância pedida no enunciado):
A direção do campo é ao longo do eixo: se
o campo aponta para fora do disco (afastando-se do plano do disco) no lado considerado; em notação vetorial,
.
Passo 7
Comentário adicional útil para a prova (curto e prático).
- Caso
(disco muito grande), e , ficando
que é o resultado conhecido para um plano infinito uniformemente carregado — bom cheque de consistência.
- Lembre-se: o passo-chave é decompor em anéis, escrever
e usar a componente axial com .