Reitz Milford:
2-5 Um disco circular, de raio R, tem uma densidade superficial uniforme de carga \sigma. Determine o campo elétrico em um ponto sobre o eixo do disco a uma distância 2 do plano do disco.

Passo 1

O enunciado dá um disco circular de raio R com densidade superficial de carga uniforme \sigma. Pede o campo elétrico em um ponto situado sobre o eixo do disco, à distância 2 do plano do disco.
Informações relevantes que vamos usar:
  • Raio do disco: R.
  • Densidade superficial uniforme: \sigma (carga por unidade de área).
  • Ponto onde se quer o campo: distância z=2 a partir do plano do disco, sobre o eixo do disco.
  • Quero encontrar o vetor campo elétrico \vec{E} nesse ponto (módulo e direção, em função de R, \sigma e \epsilon_0).

Passo 2

Raciocínio de simetria e escolha do elemento de integração.
Por simetria, o campo elétrico produzido por um disco carregado, no ponto sobre o eixo perpendicular ao disco, só tem componente ao longo desse eixo: todas as componentes laterais (paralelas ao plano do disco) se cancelam. Portanto vamos calcular apenas a componente axial E_z.
Para integrar, cortamos o disco em anéis (circunferências de raio r e espessura dr). Cada anel é um elemento de área cuja carga podemos calcular e cuja contribuição ao campo axial é simples de obter.

Passo 3

Carga de um anel e contribuição elementar ao campo.
Área do anel de raio r e espessura dr é dA = 2\pi r\,dr. Então a carga do anel é
dq = \sigma\,dA = \sigma\cdot 2\pi r\,dr.
Considere um anel de raio r. Um elemento de carga dq do anel, visto do ponto sobre o eixo a distância z, produz um campo de intensidade
dE = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{dq}{r^2+z^2}
ao longo da direção do elemento (distância do elemento ao ponto é \sqrt{r^2+z^2}). A componente axial (ao longo do eixo) é multiplicada pelo cosseno do ângulo entre a linha que une o elemento e o eixo, que é \cos\theta = \dfrac{z}{\sqrt{r^2+z^2}}. Assim a contribuição axial do anel é
dE_z = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{dq}{r^2+z^2}\cdot\frac{z}{\sqrt{r^2+z^2}} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\,dq\;\frac{z}{(r^2+z^2)^{3/2}}.

Passo 4

Substituir dq e escrever a integral total.
Substituindo dq=\sigma\,2\pi r\,dr em dE_z e fatorando constantes:
dE_z = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\,(\sigma\,2\pi r\,dr)\;\frac{z}{(r^2+z^2)^{3/2}} = \frac{\sigma z}{2\epsilon_0}\;\frac{r\,dr}{(r^2+z^2)^{3/2}}.
O campo total é a integração dos anéis de r=0 até r=R:
E_z = \frac{\sigma z}{2\epsilon_0}\int_{0}^{R}\frac{r\,dr}{(r^2+z^2)^{3/2}}.

Passo 5

Calcular a integral.
Faça a substituição \;u=r^2+z^2\;. Então \;du=2r\,dr\; ou \;r\,dr=\dfrac{du}{2}. Os limites transformam-se em: quando r=0 temos u=z^2; quando r=R temos u=R^2+z^2. A integral fica
\int_{0}^{R}\frac{r\,dr}{(r^2+z^2)^{3/2}} = \frac{1}{2}\int_{z^2}^{R^2+z^2} u^{-3/2}\,du.
Agora integrar u^{-3/2}:
\int u^{-3/2}\,du = -2\,u^{-1/2}.
Aplicando os limites:
\frac{1}{2}\Big[-2u^{-1/2}\Big]_{u=z^2}^{u=R^2+z^2} = -\big[(R^2+z^2)^{-1/2}- (z^2)^{-1/2}\big] = \frac{1}{z}-\frac{1}{\sqrt{R^2+z^2}}.

Passo 6

Voltar para E_z e simplificar; então fixar z=2.
Substituindo o resultado da integral em E_z:
E_z = \frac{\sigma z}{2\epsilon_0}\left(\frac{1}{z}-\frac{1}{\sqrt{R^2+z^2}}\right) = \frac{\sigma}{2\epsilon_0}\left(1-\frac{z}{\sqrt{R^2+z^2}}\right).
Agora tomar z=2 (a distância pedida no enunciado):
E_z=\frac{\sigma}{2\epsilon_0}\left(1-\frac{2}{\sqrt{R^2+4}}\right).
A direção do campo é ao longo do eixo: se \sigma>0 o campo aponta para fora do disco (afastando-se do plano do disco) no lado considerado; em notação vetorial, \vec{E}=E_z\,\hat{z}.

Passo 7

Comentário adicional útil para a prova (curto e prático).
  • Caso R\to\infty (disco muito grande), \sqrt{R^2+4}\approx R\to\infty e \dfrac{2}{\sqrt{R^2+4}}\to0, ficando
E_z \to \frac{\sigma}{2\epsilon_0},
que é o resultado conhecido para um plano infinito uniformemente carregado — bom cheque de consistência.
  • Lembre-se: o passo-chave é decompor em anéis, escrever dq=\sigma 2\pi r\,dr e usar a componente axial com \cos\theta = z/\sqrt{r^2+z^2}.

Resposta

\displaystyle \vec{E}=\frac{\sigma}{2\epsilon_0}\left(1-\frac{2}{\sqrt{R^2+4}}\right)\hat{z}

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