Uma carga Q_{A}=-1 \mathrm{nC} está localizada na origem, no vácuo. Uma carga Q_{B} é inserida no ponto B(2,0,0). O campo elétrico no ponto C(3,1,1) resultante da ação das cargas A e B é nulo sobre o eixo x. Determine o valor da carga Q_{B}.
Resposta: 427,28 pC.

Passo 1

O enunciado diz que há uma carga pontual Q_{A}=-1\,\mathrm{nC} na origem e queremos inserir uma carga Q_{B} em B(2,0,0) de modo que o campo resultante em C(3,1,1) tenha componente x nula. O conteúdo aqui é o cálculo do campo elétrico de cargas pontuais pelo teorema de Coulomb, e vamos precisar:
  1. Escrever o vetor posição de cada carga até C.
  2. Aplicar
\vec{E}(\vec{r}) = k\,Q\,\frac{\vec{r}-\vec{r}_0}{\bigl|\vec{r}-\vec{r}_0\bigr|^3}
  1. Impor \bigl(E_{A,x}+E_{B,x}\bigr)=0 e resolver para Q_{B}.

Passo 2

Para a carga Q_{A} na origem, o vetor de A até C é
\vec{r}_A = (3,1,1)-(0,0,0) = (3,1,1),
com magnitude
|\vec{r}_A| = \sqrt{3^2+1^2+1^2} = \sqrt{11}.
Logo o campo de Q_{A} em C é
\vec{E}_A = k\,Q_{A}\,\frac{(3,1,1)}{(\sqrt{11})^3} = k\,Q_{A}\,\frac{(3,1,1)}{11^{3/2}}.

Passo 3

Para a carga Q_{B} em B(2,0,0), o vetor de B até C é
\vec{r}_B = (3,1,1)-(2,0,0) = (1,1,1),
com magnitude
|\vec{r}_B| = \sqrt{1^2+1^2+1^2} = \sqrt{3}.
Logo o campo de Q_{B} em C é
\vec{E}_B = k\,Q_{B}\,\frac{(1,1,1)}{(\sqrt{3})^3} = k\,Q_{B}\,\frac{(1,1,1)}{3\sqrt{3}}.

Passo 4

A condição para anular a componente x do campo total é
E_{A,x} + E_{B,x} = 0.
Substituindo
k\,Q_{A}\,\frac{3}{11^{3/2}} \;+\; k\,Q_{B}\,\frac{1}{3\sqrt{3}} \;=\; 0.
Podemos cancelar k pois é comum aos dois termos.

Passo 5

Isolando Q_{B}, obtemos
Q_{B}\,\frac{1}{3\sqrt{3}} = -\,Q_{A}\,\frac{3}{11^{3/2}} \quad\Longrightarrow\quad Q_{B} = -\,Q_{A}\,\frac{3}{11^{3/2}}\,(3\sqrt{3}) = -\,Q_{A}\,\frac{9\sqrt{3}}{11^{3/2}}.
Como Q_{A}=-1\,\mathrm{nC}, temos
Q_{B} = -\,(-1\,\mathrm{nC})\;\frac{9\sqrt{3}}{11^{3/2}} = 1\,\mathrm{nC}\;\frac{9\sqrt{3}}{11^{3/2}}.

Passo 6

Calculando numericamente:
9\sqrt{3}\approx 9\times1{,}732=15{,}588,\quad 11^{3/2}=11\sqrt{11}\approx11\times3{,}316=36{,}476,
Q_{B}\approx1\,\mathrm{nC}\times\frac{15{,}588}{36{,}476} \approx0{,}42728\,\mathrm{nC} =427{,}28\,\mathrm{pC}.

Resposta

Q_{B}=427{,}28\,\mathrm{pC}.

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