Duas cargas pontuais Q_{A}=q e Q_{B}=q, estão posicionadas sobre o eixo z em A(0,0, d / 2) e B(0,0,-d / 2). Determine:
A expressão para o campo elétrico em qualquer ponto sobre o eixo x.

Passo 1

O enunciado tem duas cargas puntuais idênticas Q_A = q e Q_B = q localizadas nos pontos A(0,0,d/2) e B(0,0,-d/2). Queremos o campo elétrico resultante em um ponto genérico qualquer sobre o eixo x, digamos em P(x,0,0). Vamos usar o princípio da superposição e a Lei de Coulomb para cada carga.

Passo 2

Pelo princípio da superposição, o campo total em P é
\mathbf{E}(P) = \mathbf{E}_A + \mathbf{E}_B,
onde \mathbf{E}_A é o campo devido à carga em A e \mathbf{E}_B o devido à carga em B. Segundo a Lei de Coulomb, para uma carga q em \mathbf{r}', o campo em \mathbf{r} é
\mathbf{E} = k\,q\,\frac{\mathbf{r} - \mathbf{r}'}{\bigl\lvert \mathbf{r} - \mathbf{r}'\bigr\rvert^3},
com k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}.

Passo 3

No nosso caso,
\mathbf{r}_A = (0,0,d/2),\quad \mathbf{r}_B = (0,0,-d/2),\quad \mathbf{r} = (x,0,0).
Os vetores de posição relativos são
\mathbf{r}-\mathbf{r}_A = (x,0,-d/2),\quad \mathbf{r}-\mathbf{r}_B = (x,0,+d/2).
A distância de cada carga ao ponto P é
R = \bigl\lvert\mathbf{r}-\mathbf{r}_A\bigr\rvert = \bigl\lvert\mathbf{r}-\mathbf{r}_B\bigr\rvert = \sqrt{x^2 + \bigl(\tfrac{d}{2}\bigr)^2}.
Portanto,
\mathbf{E}_A = k\,q\,\frac{(x,0,-d/2)}{\bigl(x^2+(d/2)^2\bigr)^{3/2}},\quad \mathbf{E}_B = k\,q\,\frac{(x,0,+d/2)}{\bigl(x^2+(d/2)^2\bigr)^{3/2}}.

Passo 4

Somando \mathbf{E}_A + \mathbf{E}_B, os componentes na direção z se cancelam (são iguais e de sinais opostos) e resta apenas a componente em x. Assim,
E_x = k\,q\,\frac{x}{\bigl(x^2+(d/2)^2\bigr)^{3/2}} + k\,q\,\frac{x}{\bigl(x^2+(d/2)^2\bigr)^{3/2}} = 2\,k\,q\,\frac{x}{\bigl(x^2+(d/2)^2\bigr)^{3/2}}.

Resposta

\mathbf{E}(x,0,0) = 2\,k\,q\,\frac{x}{\bigl(x^2 + (d/2)^2\bigr)^{3/2}}\;\hat{\mathbf{i}}, \quad k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}.

Exercícios relacionados