Duas cargas pontuais Q_{A}=q e Q_{B}=q, estão posicionadas sobre o eixo z em A(0,0, d / 2) e B(0,0,-d / 2). Determine:
A expressão para o campo elétrico em qualquer ponto sobre o eixo z;

Passo 1

O enunciado coloca duas cargas pontuais iguais Q_{A}=q em A(0,0,d/2) e Q_{B}=q em B(0,0,-d/2), e pede o campo elétrico em um ponto genérico sobre o eixo z, digamos P(0,0,z). Para resolver, usaremos a Lei de Coulomb e o princípio da superposição, calculando separadamente os campos de cada carga e somando-os vetorialmente.

Passo 2

Para a carga em A, o vetor posição de P é \vec r=(0,0,z) e de A é \vec r_{A}=(0,0,d/2). O vetor que aponta de A para P é
\vec R_{PA}=\vec r - \vec r_{A} = (0,0,z - d/2),
com magnitude \bigl|\vec R_{PA}\bigr| = |\,z - d/2|. O campo elétrico devido a Q_{A} em P vale
\vec E_{A} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{q}{\bigl|\vec R_{PA}\bigr|^{2}} \;\hat R_{PA} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{q}{|z - d/2|^{2}}\, \frac{(z - d/2)\,\hat z}{|z - d/2|} = \frac{q}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{z - d/2}{|z - d/2|^{3}}\;\hat z.

Passo 3

Analogamente, para a carga em B com \vec r_{B}=(0,0,-d/2), o vetor de B a P é \vec R_{PB}=(0,0,z + d/2) de magnitude |z + d/2|. Logo,
\vec E_{B} = \frac{q}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{z + d/2}{|z + d/2|^{3}}\;\hat z.

Passo 4

Pela superposição, o campo total em P é a soma vetorial
\vec E(0,0,z) = \vec E_{A} + \vec E_{B} = \frac{q}{4\pi\varepsilon_{0}}\biggl[ \frac{z - d/2}{|z - d/2|^{3}} +\frac{z + d/2}{|z + d/2|^{3}} \biggr]\hat z.

Resposta

\boxed{ \vec E(0,0,z) = \frac{q}{4\pi\varepsilon_{0}} \biggl[ \frac{z - d/2}{\bigl|z - d/2\bigr|^{3}} +\frac{z + d/2}{\bigl|z + d/2\bigr|^{3}} \biggr]\hat z }.

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