Uma carga
está na posição
, e outra carga
está em
. Sabendo que
, obtenha:
a) O campo elétrico no ponto
b) O ponto em que o campo elétrico é nulo
c) A posição onde se pode colocar uma terceira carga
, de forma que a força resultante seja nula.
a) O campo elétrico no ponto
b) O ponto em que o campo elétrico é nulo
c) A posição onde se pode colocar uma terceira carga
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Informações do enunciado:
-
, localizada em . -
, localizada em . - Constante eletrostática
.
O enunciado pede:
a) O campo elétrico no ponto .
b) O ponto (valor de ) em que o campo elétrico é nulo.
c) A posição onde se pode colocar uma terceira carga de forma que a força resultante sobre ela seja nula.
a) O campo elétrico no ponto
b) O ponto (valor de
c) A posição onde se pode colocar uma terceira carga
Passo 2
Relembrando a fórmula do campo elétrico gerado por uma carga pontual e o conceito de direção:
- A magnitude do campo elétrico gerado por uma carga pontual
a uma distância é dada por
Aqui
tem unidades de
,
é a constante dada,
é a carga que cria o campo e
é a distância entre a carga e o ponto onde se calcula o campo.
- A direção do campo produzido por uma carga positiva é para fora da carga (afasta-se da carga); por uma carga negativa é para dentro (aponta para a carga). No eixo
usaremos sinal positivo para a direita e negativo para a esquerda.
Passo 3
Parte (a): começar separando os campos produzidos por cada carga no ponto
.
Distâncias do ponto
às cargas:
- Distância até
: . - Distância até
: .
Como ambas as cargas são positivas, as direções dos campos no ponto
são:
- Campo de
no ponto: aponta para a direita (positiva), porque o ponto está à direita de . - Campo de
no ponto: aponta para a esquerda (negativa), porque o ponto está à esquerda de .
Passo 4
Calcular as magnitudes dos campos individuais usando a fórmula.
Campo devido a
:
Fazendo as contas passo a passo:
logo
Campo devido a
:
Fazendo as contas:
logo
Passo 5
Somar vetorialmente (com sinais) os campos para obter o campo total em
.
Escolhendo positivo para a direita, temos:
-
(direita), -
(esquerda).
Portanto o campo resultante é
Interpretação: o campo tem módulo
e direção para a esquerda (sinal negativo no eixo
).
Passo 6
Parte (b): encontrar o ponto
em que o campo elétrico total é nulo.
No eixo x vamos procurar
entre as cargas (ou fora delas); primeiro raciocínio sobre localização:
- Se colocarmos um ponto entre as cargas, os campos gerados por cargas positivas apontam em sentidos opostos (um para a direita, outro para a esquerda), então é possível haver cancelamento.
- Fora do segmento entre as cargas, em qualquer ponto ambos os campos apontam para o mesmo sentido (ambos para fora das cargas positivas), então não há cancelamento fora do intervalo. Logo a solução deve estar entre
e .
Passo 7
Formalizar a condição de anulação do campo: no ponto
(com
) os módulos dos campos de
e
devem ser iguais:
Cancelar
em ambos os lados e resolver:
Tomando raiz positiva (porque distâncias positivas),
Rearranjando:
Logo
Passo 8
Substituir os valores de
e
:
Portanto
Arredondando razoavelmente:
Passo 9
Interpretação: esse ponto está entre as cargas, mais próximo da carga menor (
), como era de se esperar — o ponto de campo nulo fica mais perto da menor carga.
Passo 10
Parte (c): posição para colocar uma terceira carga
de forma que a força resultante sobre ela seja nula.
Lembrete: a força elétrica sobre
é
, onde
é o campo total gerado por
e
no ponto onde
for colocada. Se
num ponto, então qualquer carga colocada ali sofre força nula. Portanto os pontos de campo nulo (obtidos em (b)) são as posições procuradas para que a força resultante sobre
seja zero (exceto o caso trivial
).
Pelo raciocínio das regiões (à esquerda de 0, entre 0 e 10, à direita de 10) e pela simetria de sinais, a única posição possível é o ponto entre as cargas onde
, que já calculamos.
Passo 11
Conclusão da parte (c): a posição onde se pode colocar
(qualquer valor de carga não nula) de modo que a força resultante seja nula é exatamente o ponto onde o campo é nulo encontrado na parte (b), isto é
.
Resposta
(a)
(isto é,
para a esquerda).
(b) .
(c) Colocar em
faz com que a força resultante sobre ela seja nula.
(b)
(c) Colocar