Uma carga \mathrm{q}_{1}=4 \mathrm{nC} está na posição \mathrm{x}=0 \mathrm{~m}, e outra carga \mathrm{q}_{2}=8 \mathrm{nC} está em x=10 \mathrm{~m}. Sabendo que \mathrm{k}=9.10^{9} \mathrm{Nm}^{2} / \mathrm{C}^{2}, obtenha:
a) O campo elétrico no ponto x=5 \mathrm{~m}
b) O ponto em que o campo elétrico é nulo
c) A posição onde se pode colocar uma terceira carga q_{3}, de forma que a força resultante seja nula.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Informações do enunciado:
  • \mathrm{q}_{1}=4\\ \mathrm{nC}=4\times10^{-9}\\ \mathrm{C}, localizada em x=0\\ \mathrm{m}.
  • \mathrm{q}_{2}=8\\ \mathrm{nC}=8\times10^{-9}\\ \mathrm{C}, localizada em x=10\\ \mathrm{m}.
  • Constante eletrostática \mathrm{k}=9\cdot10^{9}\\ \mathrm{N\,m^{2}/C^{2}}.
O enunciado pede:
a) O campo elétrico no ponto x=5\\ \mathrm{m}.
b) O ponto (valor de x) em que o campo elétrico é nulo.
c) A posição onde se pode colocar uma terceira carga \mathrm{q}_{3} de forma que a força resultante sobre ela seja nula.

Passo 2

Relembrando a fórmula do campo elétrico gerado por uma carga pontual e o conceito de direção:
  • A magnitude do campo elétrico gerado por uma carga pontual q a uma distância r é dada por
E=\frac{k\,|q|}{r^{2}}.
Aqui E tem unidades de \mathrm{N/C}, k é a constante dada, q é a carga que cria o campo e r é a distância entre a carga e o ponto onde se calcula o campo.
  • A direção do campo produzido por uma carga positiva é para fora da carga (afasta-se da carga); por uma carga negativa é para dentro (aponta para a carga). No eixo x usaremos sinal positivo para a direita e negativo para a esquerda.

Passo 3

Parte (a): começar separando os campos produzidos por cada carga no ponto x=5\\ \mathrm{m}.
Distâncias do ponto x=5\\ \mathrm{m} às cargas:
  • Distância até \mathrm{q}_{1}: r_{1}=5-0=5\\ \mathrm{m}.
  • Distância até \mathrm{q}_{2}: r_{2}=10-5=5\\ \mathrm{m}.
Como ambas as cargas são positivas, as direções dos campos no ponto x=5\\ \mathrm{m} são:
  • Campo de \mathrm{q}_{1} no ponto: aponta para a direita (positiva), porque o ponto está à direita de \mathrm{q}_{1}.
  • Campo de \mathrm{q}_{2} no ponto: aponta para a esquerda (negativa), porque o ponto está à esquerda de \mathrm{q}_{2}.

Passo 4

Calcular as magnitudes dos campos individuais usando a fórmula.
Campo devido a \mathrm{q}_{1}:
E_{1}=\frac{k\,q_{1}}{r_{1}^{2}}=\frac{9\cdot10^{9}\cdot 4\cdot10^{-9}}{5^{2}}.
Fazendo as contas passo a passo:
9\cdot10^{9}\cdot4\cdot10^{-9}=36, \qquad 5^{2}=25,
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E_{1}=\frac{36}{25}=1{,}44\\ \mathrm{N/C}.
Campo devido a \mathrm{q}_{2}:
E_{2}=\frac{k\,q_{2}}{r_{2}^{2}}=\frac{9\cdot10^{9}\cdot 8\cdot10^{-9}}{5^{2}}.
Fazendo as contas:
9\cdot10^{9}\cdot8\cdot10^{-9}=72, \qquad 5^{2}=25,
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E_{2}=\frac{72}{25}=2{,}88\\ \mathrm{N/C}.

Passo 5

Somar vetorialmente (com sinais) os campos para obter o campo total em x=5\\ \mathrm{m}.
Escolhendo positivo para a direita, temos:
  • E_{1}=+1{,}44\\ \mathrm{N/C} (direita),
  • E_{2}=-2{,}88\\ \mathrm{N/C} (esquerda).
Portanto o campo resultante é
E_{\text{tot}}=E_{1}+E_{2}=1{,}44+(-2{,}88)=-1{,}44\\ \mathrm{N/C}.
Interpretação: o campo tem módulo 1{,}44\\ \mathrm{N/C} e direção para a esquerda (sinal negativo no eixo x).

Passo 6

Parte (b): encontrar o ponto x em que o campo elétrico total é nulo.
No eixo x vamos procurar x entre as cargas (ou fora delas); primeiro raciocínio sobre localização:
  • Se colocarmos um ponto entre as cargas, os campos gerados por cargas positivas apontam em sentidos opostos (um para a direita, outro para a esquerda), então é possível haver cancelamento.
  • Fora do segmento entre as cargas, em qualquer ponto ambos os campos apontam para o mesmo sentido (ambos para fora das cargas positivas), então não há cancelamento fora do intervalo. Logo a solução deve estar entre x=0 e x=10.

Passo 7

Formalizar a condição de anulação do campo: no ponto x (com 0<x<10) os módulos dos campos de \mathrm{q}_{1} e \mathrm{q}_{2} devem ser iguais:
\frac{k\,q_{1}}{x^{2}}=\frac{k\,q_{2}}{(10-x)^{2}}.
Cancelar k em ambos os lados e resolver:
\frac{q_{1}}{x^{2}}=\frac{q_{2}}{(10-x)^{2}}.
Tomando raiz positiva (porque distâncias positivas),
\frac{\sqrt{q_{1}}}{x}=\frac{\sqrt{q_{2}}}{10-x}.
Rearranjando:
10-x = x\sqrt{\frac{q_{2}}{q_{1}}}
10 = x\left(1+\sqrt{\frac{q_{2}}{q_{1}}}\right).
Logo
x=\frac{10}{1+\sqrt{\dfrac{q_{2}}{q_{1}}}}.

Passo 8

Substituir os valores de \mathrm{q}_{1} e \mathrm{q}_{2}:
\sqrt{\frac{q_{2}}{q_{1}}}=\sqrt{\frac{8\cdot10^{-9}}{4\cdot10^{-9}}}=\sqrt{2}\approx1{,}41421356.
Portanto
x=\frac{10}{1+\sqrt{2}}=\frac{10}{1+1{,}41421356}=\frac{10}{2{,}41421356}\approx4{,}14213562\\ \mathrm{m}.
Arredondando razoavelmente:
x\approx4{,}14\\ \mathrm{m}.

Passo 9

Interpretação: esse ponto está entre as cargas, mais próximo da carga menor ( \mathrm{q}_{1}=4\\ \mathrm{nC}), como era de se esperar — o ponto de campo nulo fica mais perto da menor carga.

Passo 10

Parte (c): posição para colocar uma terceira carga \mathrm{q}_{3} de forma que a força resultante sobre ela seja nula.
Lembrete: a força elétrica sobre \mathrm{q}_{3} é \vec{F}=\mathrm{q}_{3}\,\vec{E}, onde \vec{E} é o campo total gerado por \mathrm{q}_{1} e \mathrm{q}_{2} no ponto onde \mathrm{q}_{3} for colocada. Se \vec{E}=0 num ponto, então qualquer carga colocada ali sofre força nula. Portanto os pontos de campo nulo (obtidos em (b)) são as posições procuradas para que a força resultante sobre \mathrm{q}_{3} seja zero (exceto o caso trivial \mathrm{q}_{3}=0).
Pelo raciocínio das regiões (à esquerda de 0, entre 0 e 10, à direita de 10) e pela simetria de sinais, a única posição possível é o ponto entre as cargas onde E=0, que já calculamos.

Passo 11

Conclusão da parte (c): a posição onde se pode colocar \mathrm{q}_{3} (qualquer valor de carga não nula) de modo que a força resultante seja nula é exatamente o ponto onde o campo é nulo encontrado na parte (b), isto é x\approx4{,}14\\ \mathrm{m}.

Resposta

(a) E_{\text{tot}}=-1{,}44\\ \mathrm{N/C} (isto é, 1{,}44\\ \mathrm{N/C} para a esquerda).
(b) x=\dfrac{10}{1+\sqrt{2}}\approx4{,}14\\ \mathrm{m}.
(c) Colocar \mathrm{q}_{3} em x\approx4{,}14\\ \mathrm{m} faz com que a força resultante sobre ela seja nula.

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