Uma corda de densidade linear 0,10 \mathrm{~kg} / \mathrm{m} está submetida a uma força de tensão de 2,5 N. Uma onda senoidal é produzida fazendo oscilar transversalmente um de seus extremos (x=0) com amplitude 0,10 m e frequência de 5 oscilações por segundo. A onda resultante move-se no sentido positivo do eixo x.
a) Obtenha a velocidade e o comprimento de onda.
b) Se o deslocamento em x=0 é máximo quando t=0, qual é 2.13 equação da onda que se move pela corda?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (peguei todos os números do enunciado).
Dados:
  • densidade linear da corda: \mu = 0,10\\ \mathrm{kg/m};
  • força de tensão na corda: F = 2,5\\ \mathrm{N};
  • amplitude da oscilação no extremo x=0: A = 0,10\\ \mathrm{m};
  • frequência das oscilações: f = 5\\ \mathrm{Hz} (ou seja, 5 oscilações por segundo);
  • a onda resultante move-se no sentido positivo do eixo x;
  • condição adicional para a parte (b): o deslocamento em x=0 é máximo quando t=0.
O que o enunciado pede:
(a) obter a velocidade da onda e o comprimento de onda;
(b) escrever a equação da onda que se propaga na corda, usando a condição inicial dada.

Passo 2

Fórmula para a velocidade de uma onda transversal numa corda tensa e o significado das grandezas.
Quando uma corda de densidade linear \mu está sob tensão F (força de tração), a velocidade de pequenas ondas transversais nesta corda é dada por
v=\sqrt{\dfrac{F}{\mu}}.
Aqui:
  • v é a velocidade da onda (em \mathrm{m/s});
  • F é a força de tensão (em \mathrm{N});
  • \mu é a densidade linear de massa (em \mathrm{kg/m}).
Esta fórmula vem da equação de ondas para uma corda e do balanço entre a força (tensão) que fornece a restauração e a inércia (massa por comprimento) que resiste à aceleração. É muito usada em provas: basta substituir os valores.
Calculemos:
\dfrac{F}{\mu}=\dfrac{2,5}{0,10}=25,
v=\sqrt{25}=5\\ \mathrm{m/s}.

Passo 3

Cálculo do comprimento de onda usando relação entre velocidade e frequência.
A relação básica entre velocidade v, frequência f e comprimento de onda \lambda é
v=\lambda f.
Aqui:
  • \lambda é o comprimento de onda (em \mathrm{m});
  • f é a frequência (em \mathrm{Hz}).
Despejando \lambda:
\lambda=\dfrac{v}{f}.
Substituindo os valores que temos ( v=5\\ \mathrm{m/s}, f=5\\ \mathrm{Hz}):
\lambda=\dfrac{5}{5}=1\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Cálculo de k e \omega — parâmetros úteis para escrever a equação da onda.
Definições:
\omega=2\pi f,\qquad k=\dfrac{2\pi}{\lambda}.
Aqui:
  • \omega é a frequência angular (em \mathrm{rad/s});
  • k é o número de onda (em \mathrm{rad/m}).
Com f=5\\ \mathrm{Hz} e \lambda=1\\ \mathrm{m}:
\omega=2\pi\cdot 5 = 10\pi\\ \mathrm{rad/s},
k=\dfrac{2\pi}{1}=2\pi\\ \mathrm{rad/m}.

Passo 5

Forma geral da onda progressiva e significado dos termos.
Para uma onda harmônica que se move no sentido positivo de x, a forma padrão é
y(x,t)=A\sin\bigl(kx-\omega t+\varphi\bigr),
onde:
  • y(x,t) é o deslocamento transversal (em \mathrm{m});
  • A é a amplitude (em \mathrm{m});
  • kx-\omega t+\varphi é a fase total;
  • \varphi é a fase inicial (constante de fase).
A escolha do sinal kx-\omega t representa uma onda que se desloca para +x. Para verificar: manter a fase constante kx-\omega t= constante leva a x=(\omega/k)t+ constante, logo a frente de onda avança com velocidade v=\omega/k, que coincide com v já calculada.

Passo 6

Usar a condição inicial para determinar a fase \varphi.
A condição dada: o deslocamento em x=0 é máximo quando t=0. Isso significa:
y(0,0)=A.
Substituindo na forma geral:
y(0,0)=A\sin(\varphi)=A\quad\Rightarrow\quad \sin(\varphi)=1.
As soluções para \sin(\varphi)=1 são \varphi=\dfrac{\pi}{2}+2\pi n. Tomamos a escolha mais simples \varphi=\dfrac{\pi}{2}.
Portanto uma forma conveniente para a onda é
y(x,t)=A\sin\bigl(kx-\omega t+\tfrac{\pi}{2}\bigr).
Usando a identidade \sin(\theta+\tfrac{\pi}{2})=\cos\theta, obtemos a forma equivalente mais compacta
y(x,t)=A\cos\bigl(kx-\omega t\bigr).

Passo 7

Substituir os valores numéricos finais e checar rapidamente a condição inicial.
Substituindo A=0,10\\ \mathrm{m}, k=2\pi\\ \mathrm{rad/m} e \omega=10\pi\\ \mathrm{rad/s}:
y(x,t)=0,10\cos\bigl(2\pi x-10\pi t\bigr)\\ \mathrm{m}.
Verificação rápida em x=0,t=0:
y(0,0)=0,10\cos(0)=0,10\\ \mathrm{m}=A,
ou seja, é máximo como exigido. Também a forma com kx-\omega t indica propagação para +x, consistente com o enunciado.

Resposta

(a) v=5\\ \mathrm{m/s},\qquad \lambda=1\\ \mathrm{m}
(b) y(x,t)=0,10\cos\bigl(2\pi x-10\pi t\bigr)\\ \mathrm{m}

Exercícios relacionados