Uma corda de densidade linear
está submetida a uma força de tensão de
. Uma onda senoidal é produzida fazendo oscilar transversalmente um de seus extremos
com amplitude
e frequência de 5 oscilações por segundo. A onda resultante move-se no sentido positivo do eixo
.
a) Obtenha a velocidade e o comprimento de onda.
b) Se o deslocamento em
é máximo quando
, qual é 2.13 equação da onda que se move pela corda?
a) Obtenha a velocidade e o comprimento de onda.
b) Se o deslocamento em
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (peguei todos os números do enunciado).
Dados:
- densidade linear da corda:
; - força de tensão na corda:
; - amplitude da oscilação no extremo
: ; - frequência das oscilações:
(ou seja, 5 oscilações por segundo); - a onda resultante move-se no sentido positivo do eixo
; - condição adicional para a parte (b): o deslocamento em
é máximo quando .
O que o enunciado pede:
(a) obter a velocidade da onda e o comprimento de onda;
(b) escrever a equação da onda que se propaga na corda, usando a condição inicial dada.
(a) obter a velocidade da onda e o comprimento de onda;
(b) escrever a equação da onda que se propaga na corda, usando a condição inicial dada.
Passo 2
Fórmula para a velocidade de uma onda transversal numa corda tensa e o significado das grandezas.
Quando uma corda de densidade linear
está sob tensão
(força de tração), a velocidade de pequenas ondas transversais nesta corda é dada por
Aqui:
-
é a velocidade da onda (em ); -
é a força de tensão (em ); -
é a densidade linear de massa (em ).
Esta fórmula vem da equação de ondas para uma corda e do balanço entre a força (tensão) que fornece a restauração e a inércia (massa por comprimento) que resiste à aceleração. É muito usada em provas: basta substituir os valores.
Calculemos:
Passo 3
Cálculo do comprimento de onda usando relação entre velocidade e frequência.
A relação básica entre velocidade
, frequência
e comprimento de onda
é
Aqui:
-
é o comprimento de onda (em ); -
é a frequência (em ).
Despejando
:
Substituindo os valores que temos (
,
):
Passo 4
Cálculo de
e
— parâmetros úteis para escrever a equação da onda.
Definições:
Aqui:
-
é a frequência angular (em ); -
é o número de onda (em ).
Com
e
:
Passo 5
Forma geral da onda progressiva e significado dos termos.
Para uma onda harmônica que se move no sentido positivo de
, a forma padrão é
onde:
-
é o deslocamento transversal (em ); -
é a amplitude (em ); -
é a fase total; -
é a fase inicial (constante de fase).
A escolha do sinal
representa uma onda que se desloca para
. Para verificar: manter a fase constante
constante leva a
constante, logo a frente de onda avança com velocidade
, que coincide com
já calculada.
Passo 6
Usar a condição inicial para determinar a fase
.
A condição dada: o deslocamento em
é máximo quando
. Isso significa:
Substituindo na forma geral:
As soluções para
são
. Tomamos a escolha mais simples
.
Portanto uma forma conveniente para a onda é
Usando a identidade
, obtemos a forma equivalente mais compacta
Passo 7
Substituir os valores numéricos finais e checar rapidamente a condição inicial.
Substituindo
,
e
:
Verificação rápida em
:
ou seja, é máximo como exigido. Também a forma com
indica propagação para
, consistente com o enunciado.
Resposta
(a)
(b)