Dois pontos de um fio, localizados em x_{1}=0 e x_{2}=1,0 m, possuem os seguintes movimentos transversais quando uma onda passa por ele,
\begin{aligned} & Y_{1}=0,2 \operatorname{sen} 3 \pi t \\\ & Y_{2}=0,2 \operatorname{sen}(3 \pi t+\pi) \end{aligned}
Considere que a distância entre os pontos não seja maior que comprimento de onda e que o movimento ocorra no sentido negativo do eixo

Passo 1

O enunciado nos dá os seguintes dados:
  • As posições dos dois pontos do fio são x_{1}=0 e x_{2}=1,0\\ \mathrm{m}.
  • Os deslocamentos transversais em função do tempo, para a passagem da onda, são
Y_{1}=0,2\operatorname{sen}(3\pi t)
Y_{2}=0,2\operatorname{sen}(3\pi t+\pi)
  • Informação adicional: a distância entre os pontos não é maior que o comprimento de onda e o movimento da onda ocorre no sentido negativo do eixo x.
Perguntas que vamos responder (inferidas do enunciado):
  • Quais são a amplitude e a frequência/periodo da oscilação em cada ponto?
  • Qual é a diferença de fase entre os pontos?
  • Qual é o número de onda k e o comprimento de onda \lambda?
  • Qual é a velocidade de propagação da onda (valor e sentido)?
  • Qual é a equação da onda Y(x,t) compatível com os dados?

Passo 2

Identificar amplitude e frequência angular a partir de Y_{1}.
A expressão \,Y_{1}=0,2\operatorname{sen}(3\pi t)\, tem forma geral A\operatorname{sen}(\omega t+\varphi). Portanto:
  • Amplitude: A=0,2\\ \mathrm{m}.
  • Frequência angular: \omega=3\pi\\ \mathrm{rad/s}.
Explicação rápida (fórmula usada): a frequência angular \omega aparece no argumento temporal da função seno; a relação com o período T e a frequência f é
T=\frac{2\pi}{\omega},\qquad f=\frac{1}{T}.
Calculemos:
T=\frac{2\pi}{3\pi}=\frac{2}{3}\\ \mathrm{s}, \qquad f=\frac{1}{T}=\frac{3}{2}=1,5\\ \mathrm{Hz}.

Passo 3

Calcular a diferença de fase entre os dois pontos.
As fases temporais em x_{1} e x_{2} (nos argumentos do seno) são, respectivamente, \,3\pi t e \,3\pi t+\pi. A diferença de fase (para o mesmo t) é
\Delta\varphi=(3\pi t+\pi)-(3\pi t)=\pi\\ \text{rad}.
Interpretação física: \Delta\varphi=\pi significa que os dois pontos oscilam em anti-fase — quando um está em deslocamento máximo positivo, o outro está em deslocamento máximo negativo.

Passo 4

Relacionar diferença de fase com separação espacial e escolher a forma correta da equação de onda por causa do sentido de propagação.
Para uma onda harmônica plana, a fase total pode depender de x e t. As formas usuais são:
  • onda viajando no sentido positivo de x: \;A\sin(kx-\omega t+\phi_0);
  • onda viajando no sentido negativo de x: \;A\sin(\omega t + kx + \phi_0).
Porque o enunciado diz que o movimento ocorre no sentido negativo de x, escolhemos a forma
Y(x,t)=A\sin(\omega t + kx + \phi_{0}).
Explicação do porquê: manter a fase constante dá \omega t + kx+\phi_{0}= constante \Rightarrow x=-\dfrac{\omega}{k}t+\text{const}, o que corresponde a uma onda que se desloca no sentido negativo de x com velocidade v=-\dfrac{\omega}{k}.
Agora aplicamos as condições nos pontos dados. Para x_{1}=0 temos
Y(0,t)=A\sin(\omega t+\phi_{0})=0,2\operatorname{sen}(3\pi t).
Comparando, vemos que A=0,2 e \omega=3\pi e que \phi_{0}=0 (ou múltiplos inteiros de 2\pi, mas podemos tomar 0).
Para x_{2}=1,0\\ \mathrm{m} a equação dá
Y(1,t)=0,2\sin(3\pi t + k\cdot 1,0).
Mas o enunciado nos dá Y_{2}=0,2\sin(3\pi t+\pi). Igualando os argumentos (diferença de fase espacial),
k\cdot 1,0 = \pi + 2\pi n.
Como foi afirmado que a distância entre os pontos não é maior que o comprimento de onda, escolhemos a solução principal com n=0, ou seja
k=\pi\\ \text{rad/m}.
Observação didática: a relação entre diferença de fase espacial e k é \Delta\varphi=k\Delta x quando se usa a forma \omega t + kx + \phi_0. Aqui \Delta x=1,0\\ \mathrm{m} e \Delta\varphi=\pi, então k=\pi/1,0=\pi\\ \mathrm{rad/m}.

Passo 5

Calcular o comprimento de onda \lambda a partir de k.
Relação fundamental:
k=\frac{2\pi}{\lambda}.
Logo,
\lambda=\frac{2\pi}{k}=\frac{2\pi}{\pi}=2,0\\ \mathrm{m}.
Verificação rápida da condição do enunciado: a separação 1,0\\ \mathrm{m} é menor que \lambda=2,0\\ \mathrm{m}, portanto a escolha n=0 foi consistente.

Passo 6

Calcular a velocidade de propagação da onda v (valor e sentido).
Relação entre velocidade, frequência angular e número de onda:
v=-\frac{\omega}{k}.
O sinal negativo já indica que a onda se propaga no sentido negativo de x (conforme enunciado). Substituindo:
v=-\frac{3\pi}{\pi}=-3,0\\ \mathrm{m/s}.
Interpretação: a velocidade escalar é 3,0\\ \mathrm{m/s} e o sentido é no sentido negativo do eixo x.

Passo 7

Escrever a equação completa da onda Y(x,t) e verificar as condições nos pontos fornecidos.
Já temos A=0,2, \omega=3\pi, k=\pi e \phi_{0}=0. Portanto a equação é
Y(x,t)=0,2\operatorname{sen}(3\pi t + \pi x).
Verificação rápida:
  • Para x=0 obtemos Y(0,t)=0,2\operatorname{sen}(3\pi t) conforme dado.
  • Para x=1,0 obtemos Y(1,t)=0,2\operatorname{sen}(3\pi t+\pi) conforme dado.

Passo 8

Resumo físico e observações finais (curiosidades e reforço):
  • Os dois pontos oscilam com amplitude 0,2\\ \mathrm{m} e estão em anti-fase ( \Delta\varphi=\pi).
  • A frequência é f=1,5\\ \mathrm{Hz} e o período é T=2/3\\ \mathrm{s}.
  • O comprimento de onda é \lambda=2,0\\ \mathrm{m}.
  • A onda propaga-se no sentido negativo de x com velocidade v=-3,0\\ \mathrm{m/s}.
  • A equação de onda encontrada é Y(x,t)=0,2\operatorname{sen}(3\pi t + \pi x).
Vai dar certo — você já tem a estrutura completa: identifique amplitude e \omega, ache a diferença de fase entre pontos, use \Delta\varphi=k\Delta x para achar k e daí \lambda e v. Se quiser, eu te mostro esse mesmo raciocínio usando a forma alternativa A\sin(kx-\omega t+\varphi) e como traduzir o sinal, para que fique bem seguro na prova.

Resposta

\lambda=2,0\\ \mathrm{m}
v=-3,0\\ \mathrm{m/s}
Y(x,t)=0,2\operatorname{sen}(3\pi t + \pi x)
k=\pi\\ \mathrm{rad/m}
\omega=3\pi\\ \mathrm{rad/s}
f=1,5\\ \mathrm{Hz}
T=\dfrac{2}{3}\\ \mathrm{s}

Exercícios relacionados