Dois pontos de um fio, localizados em
e
, possuem os seguintes movimentos transversais quando uma onda passa por ele,
Considere que a distância entre os pontos não seja maior que comprimento de onda e que o movimento ocorra no sentido negativo do eixo
Passo 1
O enunciado nos dá os seguintes dados:
- As posições dos dois pontos do fio são
e . - Os deslocamentos transversais em função do tempo, para a passagem da onda, são
- Informação adicional: a distância entre os pontos não é maior que o comprimento de onda e o movimento da onda ocorre no sentido negativo do eixo
.
Perguntas que vamos responder (inferidas do enunciado):
- Quais são a amplitude e a frequência/periodo da oscilação em cada ponto?
- Qual é a diferença de fase entre os pontos?
- Qual é o número de onda
e o comprimento de onda ? - Qual é a velocidade de propagação da onda (valor e sentido)?
- Qual é a equação da onda
compatível com os dados?
Passo 2
Identificar amplitude e frequência angular a partir de
.
A expressão
tem forma geral
. Portanto:
- Amplitude:
. - Frequência angular:
.
Explicação rápida (fórmula usada): a frequência angular
aparece no argumento temporal da função seno; a relação com o período
e a frequência
é
Calculemos:
Passo 3
Calcular a diferença de fase entre os dois pontos.
As fases temporais em
e
(nos argumentos do seno) são, respectivamente,
e
. A diferença de fase (para o mesmo
) é
Interpretação física:
significa que os dois pontos oscilam em anti-fase — quando um está em deslocamento máximo positivo, o outro está em deslocamento máximo negativo.
Passo 4
Relacionar diferença de fase com separação espacial e escolher a forma correta da equação de onda por causa do sentido de propagação.
Para uma onda harmônica plana, a fase total pode depender de
e
. As formas usuais são:
- onda viajando no sentido positivo de
: ; - onda viajando no sentido negativo de
: .
Porque o enunciado diz que o movimento ocorre no sentido negativo de
, escolhemos a forma
Explicação do porquê: manter a fase constante dá
constante
, o que corresponde a uma onda que se desloca no sentido negativo de
com velocidade
.
Agora aplicamos as condições nos pontos dados. Para
temos
Comparando, vemos que
e
e que
(ou múltiplos inteiros de
, mas podemos tomar
).
Para
a equação dá
Mas o enunciado nos dá
. Igualando os argumentos (diferença de fase espacial),
Como foi afirmado que a distância entre os pontos não é maior que o comprimento de onda, escolhemos a solução principal com
, ou seja
Observação didática: a relação entre diferença de fase espacial e
é
quando se usa a forma
. Aqui
e
, então
.
Passo 5
Calcular o comprimento de onda
a partir de
.
Relação fundamental:
Logo,
Verificação rápida da condição do enunciado: a separação
é menor que
, portanto a escolha
foi consistente.
Passo 6
Calcular a velocidade de propagação da onda
(valor e sentido).
Relação entre velocidade, frequência angular e número de onda:
O sinal negativo já indica que a onda se propaga no sentido negativo de
(conforme enunciado). Substituindo:
Interpretação: a velocidade escalar é
e o sentido é no sentido negativo do eixo
.
Passo 7
Escrever a equação completa da onda
e verificar as condições nos pontos fornecidos.
Já temos
,
,
e
. Portanto a equação é
Verificação rápida:
- Para
obtemos conforme dado. - Para
obtemos conforme dado.
Passo 8
Resumo físico e observações finais (curiosidades e reforço):
- Os dois pontos oscilam com amplitude
e estão em anti-fase ( ). - A frequência é
e o período é . - O comprimento de onda é
. - A onda propaga-se no sentido negativo de
com velocidade . - A equação de onda encontrada é
.
Vai dar certo — você já tem a estrutura completa: identifique amplitude e
, ache a diferença de fase entre pontos, use
para achar
e daí
e
. Se quiser, eu te mostro esse mesmo raciocínio usando a forma alternativa
e como traduzir o sinal, para que fique bem seguro na prova.