Uma carga q positiva está situada na origem do sistema de coordenadas e outra carga de mesmo valor, porém negativa, está na posição ( a, a, a).
a) Encontre uma expressão para o vetor campo elétrico gerado por essas cargas no ponto ( a, 0, a ).
b) se q=5,00 n C, qual o vetor força resultante que atua sobre uma carga de teste q0=2,00 n C na posição (1,00 m, 0,1,00 m )?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de física sobre campo elétrico e força elétrica entre cargas. A gente tem duas partes aqui:
a) Precisamos encontrar a expressão do vetor campo elétrico gerado por duas cargas no ponto específico (a, 0, a).
b) Com q = 5,00 , nC, vamos calcular o vetor força resultante que atua sobre uma carga de teste q0 = 2,00 , nC na posição (1,00 , m, 0,1,00 , m).
Para resolver isso, vamos usar conceitos de campo elétrico gerado por cargas pontuais e a Lei de Coulomb para calcular a força elétrica.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o campo elétrico. O campo elétrico E gerado por uma carga pontual q em um ponto no espaço é dado pela fórmula:
E = k cdot qr^2 cdot r
Onde:
  • k é a constante eletrostática ( k = 8,99 times 10^9 , N cdot m^2/C^2),
  • q é a carga que gera o campo,
  • r é a distância entre a carga e o ponto onde estamos calculando o campo,
  • r é o vetor unitário na direção de r.
Vamos aplicar isso para as duas cargas no enunciado.

Passo 3

Vamos identificar as posições das cargas e do ponto onde queremos calcular o campo elétrico:
  • Carga positiva q está na origem (0, 0, 0).
  • Carga negativa -q está no ponto (a, a, a).
  • Ponto onde vamos calcular o campo elétrico: (a, 0, a).
Primeiro, calculamos o campo elétrico gerado pela carga positiva no ponto (a, 0, a).

Passo 4

Para a carga positiva na origem:
A distância r1 entre a origem (0, 0, 0) e o ponto (a, 0, a) é:
r1 = raiza^2 + 0^2 + a^2 = raiz2a^2 = araiz2
O vetor posição r1 é (a, 0, a), então o vetor unitário r1 é:
Agora, aplicando a fórmula do campo elétrico:
r1 = r1r1 = (a, 0, a)araiz2 = ( 1raiz2, 0, 1raiz2 )

Passo 5

Agora, vamos calcular o campo elétrico gerado pela carga negativa -q no mesmo ponto (a, 0, a).
A distância r2 entre a carga negativa na posição (a, a, a) e o ponto (a, 0, a) é:
r2 = raiz(a - a)^2 + (0 - a)^2 + (a - a)^2 = raiz0 + a^2 + 0 = a
O vetor posição r2 é (0, -a, 0), então o vetor unitário r2 é:
r2 = r2r2 = (0, -a, 0)a = (0, -1, 0)
Aplicando a fórmula do campo elétrico para a carga negativa:
E2 = k cdot (-q)a^2 cdot (0, -1, 0) = -k cdot qa^2 cdot (0, -1, 0) = k cdot qa^2 cdot (0, 1, 0)

Passo 6

Agora, vamos somar os campos elétricos E1 e E2 para obter o campo elétrico total Etotal no ponto (a, 0, a):
Etotal = E1 + E2 = k cdot q2a^2 cdot ( 1raiz2, 0, 1raiz2 ) + k cdot qa^2 cdot (0, 1, 0)
Vamos simplificar isso:
Etotal = ( k cdot q2a^2 raiz2, 0, k cdot q2a^2 raiz2 ) + ( 0, k cdot qa^2, 0 ) = ( k cdot q2a^2 raiz2, k cdot qa^2, k cdot q2a^2 raiz2 )

Passo 7

Simplificando ainda mais, podemos fatorar k cdot q2a^2:
Etotal = k cdot q2a^2 ( 1raiz2, 21, 1raiz2 )
Ou, de forma mais organizada:
Etotal = ( k cdot q2a^2 raiz2, 2k cdot q2a^2, k cdot q2a^2 raiz2 ) = ( k cdot q2a^2 raiz2, k cdot qa^2, k cdot q2a^2 raiz2 )

Passo 8

Agora, temos a expressão para o vetor campo elétrico no ponto (a, 0, a). Vamos resumir:
Etotal = ( k cdot q2a^2 raiz2, k cdot qa^2, k cdot q2a^2 raiz2 )
Isso responde a parte a) do exercício.

Passo 9

Agora, vamos para a parte b), onde precisamos calcular o vetor força resultante sobre uma carga de teste q0 = 2,00 , nC na posição (1,00 , m, 0,1,00 , m).
Primeiro, entendemos que a força elétrica F sobre uma carga de teste em um campo elétrico E é dada por:
F = q0 cdot E
Vamos usar a expressão do campo elétrico que encontramos na parte a).

Passo 10

Vamos atribuir os valores:
  • q = 5,00 , nC = 5,00 times 10^-9 , C
  • q0 = 2,00 , nC = 2,00 times 10^-9 , C
  • Supondo que a = 1,00 , m (pela posição dada)
Substituindo na expressão do campo elétrico:
Etotal = ( 8,99 times 10^9 cdot 5,00 times 10^-92 cdot (1,00)^2 cdot raiz2, 8,99 times 10^9 cdot 5,00 times 10^-9(1,00)^2, 8,99 times 10^9 cdot 5,00 times 10^-92 cdot (1,00)^2 cdot raiz2 )

Passo 11

Calculando cada componente:
Primeira e terceira componentes:
8,99 times 10^9 cdot 5,00 times 10^-92 cdot 1 cdot raiz2 = 44,952 raiz2 approx 44,952,828 approx 15,88 , N/C
Segunda componente:
8,99 times 10^9 cdot 5,00 times 10^-91 cdot 1 = 44,95 , N/C
Então, o campo elétrico fica aproximadamente:
Etotal approx (15,88 , N/C, 44,95 , N/C, 15,88 , N/C)

Passo 12

Agora, calculamos a força elétrica:
F = q0 cdot Etotal = 2,00 times 10^-9 , C cdot (15,88 , N/C, 44,95 , N/C, 15,88 , N/C)
Multiplicando cada componente:
F approx (31,76 times 10^-9 , N, 89,90 times 10^-9 , N, 31,76 times 10^-9 , N)
Ou, simplificando:
F approx (3,18 times 10^-8 , N, 8,99 times 10^-8 , N, 3,18 times 10^-8 , N)

Resposta

a) O vetor campo elétrico no ponto (a, 0, a) é dado por:
Etotal = ( k cdot q2a^2 raiz2, k cdot qa^2, k cdot q2a^2 raiz2 )
b) O vetor força resultante que atua sobre a carga de teste q0 = 2,00 , nC na posição (1,00 , m, 0,1,00 , m) é aproximadamente:
F approx ( 3,18 times 10^-8 , N, , 8,99 times 10^-8 , N, , 3,18 times 10^-8 , N )

Exercícios relacionados