Uma carga q positiva está situada na origem do sistema de coordenadas e outra carga de mesmo valor, porém negativa, está na posição (
.
a) Encontre uma expressão para o vetor campo elétrico gerado por essas cargas no ponto (
).
b) se
, qual o vetor força resultante que atua sobre uma carga de teste
na posição (1,00
)?
a) Encontre uma expressão para o vetor campo elétrico gerado por essas cargas no ponto (
b) se
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de física sobre campo elétrico e força elétrica entre cargas. A gente tem duas partes aqui:
a) Precisamos encontrar a expressão do vetor campo elétrico gerado por duas cargas no ponto específico
.
b) Com
, vamos calcular o vetor força resultante que atua sobre uma carga de teste
na posição
.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de campo elétrico gerado por cargas pontuais e a Lei de Coulomb para calcular a força elétrica.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o campo elétrico. O campo elétrico
gerado por uma carga pontual
em um ponto no espaço é dado pela fórmula:
Onde:
-
é a constante eletrostática ( ), -
é a carga que gera o campo, -
é a distância entre a carga e o ponto onde estamos calculando o campo, -
é o vetor unitário na direção de .
Vamos aplicar isso para as duas cargas no enunciado.
Passo 3
Vamos identificar as posições das cargas e do ponto onde queremos calcular o campo elétrico:
- Carga positiva
está na origem . - Carga negativa
está no ponto . - Ponto onde vamos calcular o campo elétrico:
.
Primeiro, calculamos o campo elétrico gerado pela carga positiva no ponto
.
Passo 4
Para a carga positiva na origem:
A distância
entre a origem
e o ponto
é:
O vetor posição
é
, então o vetor unitário
é:
Agora, aplicando a fórmula do campo elétrico:
Passo 5
Agora, vamos calcular o campo elétrico gerado pela carga negativa
no mesmo ponto
.
A distância
entre a carga negativa na posição
e o ponto
é:
O vetor posição
é
, então o vetor unitário
é:
Aplicando a fórmula do campo elétrico para a carga negativa:
Passo 6
Agora, vamos somar os campos elétricos
e
para obter o campo elétrico total
no ponto
:
Vamos simplificar isso:
Passo 7
Simplificando ainda mais, podemos fatorar
:
Ou, de forma mais organizada:
Passo 8
Agora, temos a expressão para o vetor campo elétrico no ponto
. Vamos resumir:
Isso responde a parte a) do exercício.
Passo 9
Agora, vamos para a parte b), onde precisamos calcular o vetor força resultante sobre uma carga de teste
na posição
.
Primeiro, entendemos que a força elétrica
sobre uma carga de teste em um campo elétrico
é dada por:
Vamos usar a expressão do campo elétrico que encontramos na parte a).
Passo 10
Vamos atribuir os valores:
-
-
- Supondo que
(pela posição dada)
Substituindo na expressão do campo elétrico:
Passo 11
Calculando cada componente:
Primeira e terceira componentes:
Segunda componente:
Então, o campo elétrico fica aproximadamente:
Passo 12
Agora, calculamos a força elétrica:
Multiplicando cada componente:
Ou, simplificando:
Resposta
a) O vetor campo elétrico no ponto
é dado por:
b) O vetor força resultante que atua sobre a carga de teste
na posição
é aproximadamente: