a) Use a Lei de Gauss para mostrar que o módulo do campo elétrico próximo à superfície de um condutor em equilíbrio eletrostático é
, com
sendo a densidade superficial de carga no condutor.
b) Qual a direção desse campo elétrico? Justifique.
b) Qual a direção desse campo elétrico? Justifique.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente usar a Lei de Gauss para encontrar o módulo do campo elétrico perto da superfície de um condutor em equilíbrio eletrostático, e também para determinar a direção desse campo. A gente vai precisar entender um pouco sobre campo elétrico, densidade superficial de carga (
) e a Lei de Gauss. Vamos resolver passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei de Gauss. Ela relaciona o fluxo do campo elétrico através de uma superfície fechada com a carga total dentro dessa superfície. A fórmula da Lei de Gauss é:
Onde:
-
é o campo elétrico, -
é um elemento de área da superfície fechada, -
é a carga total dentro da superfície, -
é a permissividade do vácuo.
Passo 3
Agora, vamos imaginar um condutor em equilíbrio eletrostático. Nesse estado, as cargas se distribuem na superfície do condutor e o campo elétrico dentro do material é zero. Para aplicar a Lei de Gauss, escolhemos uma superfície gaussiana que é uma esfera muito pequena posicionada perto da superfície do condutor.
Passo 4
Como estamos perto da superfície, podemos considerar que o campo elétrico é uniforme e perpendicular à superfície do condutor. A carga dentro da nossa superfície gaussiana é a carga superficial
, onde
é a área da superfície gaussiana.
Passo 5
Aplicando a Lei de Gauss:
Simplificando os
dos dois lados:
Isso mostra que o módulo do campo elétrico perto da superfície do condutor é
.
Passo 6
Para a parte b), a direção do campo elétrico em relação ao condutor. No equilíbrio eletrostático, o campo elétrico deve ser perpendicular à superfície do condutor. Isso ocorre porque se houvesse um componente paralelo do campo, as cargas livres no condutor se moveriam até que o campo fosse apenas perpendicular, estabelecendo o equilíbrio.
Resposta
a) O campo elétrico próximo à superfície do condutor é dado por
.
b) A direção desse campo elétrico é perpendicular à superfície do condutor.