Uma carga pontual Q=2 \mathrm{nC}, está localizada na origem do sistema de coordenadas esféricas. Uma distribuição esférica concêntrica de carga está localizada em r=1 \mathrm{~m} e possui densidade \sigma=40 \pi \mathrm{pC} / \mathrm{m}_{2}. Que densidade de cargas distribuída sobre uma casca esférica de raio r=2 \mathrm{~m} resultaria em \vec{D}=0 na região r>2 \mathrm{~m} ?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz a seguinte pergunta:
  • Há uma carga pontual localizada na origem com valor \;Q=2\\ \mathrm{nC}.
  • Há uma casca esférica concêntrica em r=1\\ \mathrm{m} com densidade superficial de carga \;\sigma=40\pi\\ \mathrm{pC}/\mathrm{m}^2.
  • Pergunta: qual densidade superficial de carga sobre uma casca esférica de raio \;r=2\\ \mathrm{m} faria com que \vec{D}=0 na região \;r>2\\ \mathrm{m} ?
Informações relevantes listadas:
  • Valor da carga pontual: \;Q_{\text{ponto}}=2\\ \mathrm{nC}.
  • Densidade da casca em r=1: \;\sigma_{1}=40\pi\\ \mathrm{pC}/\mathrm{m}^2.
  • Raio da segunda casca: \;r_2=2\\ \mathrm{m}.
  • Objetivo: encontrar \;\sigma_{2} tal que \vec{D}=0 para r>2\\ \mathrm{m}.

Passo 2

Conceito fundamental que vamos usar (explicado de forma didática): Lei de Gauss para o vetor deslocamento elétrico \vec{D}.
  • A Lei de Gauss para \vec{D} diz que o fluxo de \vec{D} através de uma superfície fechada é igual à carga livre total encerrada por essa superfície:
\oint_{S}\vec{D}\cdot d\vec{A}=Q_{\text{livre, encerrada}}.
  • Aqui \vec{D} é o vetor deslocamento elétrico; d\vec{A} é o elemento de área (vetor, apontando para fora); e Q_{\text{livre, encerrada}} é a soma das cargas livres dentro da superfície.
  • Interpretação prática: se, para uma superfície fechada que engloba todas as cargas até r=2, queremos que \vec{D}=0 fora dessa superfície ( r>2), isso implica que o fluxo de \vec{D} através de qualquer superfície maior é zero. Pela lei de Gauss isso só ocorre se a carga livre total encerrada por essa superfície for zero:
Q_{\text{total, encerrada}}=0.
  • Então, para garantir \vec{D}=0 em r>2, a soma das cargas livres (carga pontual + carga na casca r=1 + carga na casca r=2) deve ser zero.

Passo 3

Calcular a carga total na casca em r=1.
  • Fórmula para carga de uma casca esférica com densidade superficial constante:
Q=\sigma \cdot A,
onde A é a área da esfera de raio r, dada por A=4\pi r^2.
  • Para a casca em r=1\\ \mathrm{m}:
A_{1}=4\pi(1)^2=4\pi\\ \mathrm{m}^2.
  • A densidade dada é \sigma_{1}=40\pi\\ \mathrm{pC}/\mathrm{m}^2. Então a carga total na casca é
Q_{1}=\sigma_{1}\,A_{1}=(40\pi)\cdot(4\pi)\\ \mathrm{pC} = 160\pi^{2}\\ \mathrm{pC}.
  • Vamos deixar Q_{1} também em \mathrm{nC} para somar com Q_{\text{ponto}}. Lembrando que 1\\ \mathrm{pC}=10^{-3}\\ \mathrm{nC}, temos
Q_{1}=160\pi^{2}\\ \mathrm{pC}=160\pi^{2}\times 10^{-3}\\ \mathrm{nC}.
Se quisermos um valor numérico,
\pi^{2}\approx 9{,}8696\quad\Rightarrow\quad Q_{1}\approx 160\times 9{,}8696\times 10^{-3}\\ \mathrm{nC}\approx 1{,}57914\\ \mathrm{nC}.

Passo 4

Impor a condição de carga total zero e achar a carga necessária na casca de raio 2\\ \mathrm{m}.
  • Denotando a carga na casca de raio 2 por Q_{2}, a condição para \vec{D}=0 em r>2 é
Q_{\text{ponto}}+Q_{1}+Q_{2}=0.
  • Substituindo Q_{\text{ponto}}=2\\ \mathrm{nC} e Q_{1}=160\pi^{2}\\ \mathrm{pC}=0{,}160\pi^{2}\\ \mathrm{nC} (ou usar o valor numérico aproximado já calculado), obtemos
Q_{2}=-(Q_{\text{ponto}}+Q_{1}).
  • Em pC fica mais limpo para manipular: Q_{\text{ponto}}=2\\ \mathrm{nC}=2000\\ \mathrm{pC}. Assim
Q_{1}=160\pi^{2}\\ \mathrm{pC},\qquad Q_{2}=-(2000+160\pi^{2})\\ \mathrm{pC}.
  • Valor numérico aproximado:
Q_{2}\approx -(2000+1579{,}1367)\\ \mathrm{pC}\approx -3579{,}1367\\ \mathrm{pC}\approx -3{,}57914\\ \mathrm{nC}.

Passo 5

Calcular a densidade superficial \sigma_{2} na casca de raio 2\\ \mathrm{m}.
  • Área da esfera de raio r_{2}=2\\ \mathrm{m}:
A_{2}=4\pi r_{2}^{2}=4\pi(2)^{2}=16\pi\\ \mathrm{m}^2.
  • A densidade superficial é \sigma_{2}=Q_{2}/A_{2}. Usando a expressão em pC:
\sigma_{2}=\frac{-(2000+160\pi^{2})\\ \mathrm{pC}}{16\pi\\ \mathrm{m}^2}.
  • Podemos simplificar algebricamente dividindo numerador e denominador por 16:
\sigma_{2}=-\frac{125+10\pi^{2}}{\pi}\\ \mathrm{pC}/\mathrm{m}^2.
  • Agora o valor numérico aproximado. Usando \pi\approx 3{,}14159265 e \pi^{2}\approx 9{,}8696, obtemos
\sigma_{2}\approx -71{,}205\\ \mathrm{pC}/\mathrm{m}^2.
(Arredondando, \sigma_{2}\approx -71{,}21\\ \mathrm{pC}/\mathrm{m}^2.)

Passo 6

Cheque rápido por intuição e unidade:
  • Sinal negativo: faz sentido físico — como a carga pontual e a casca interna são positivas (2 nC e \approx 1{,}579 nC), a casca externa precisa ter carga negativa de mesma magnitude para anular a carga total.
  • Unidade: densidade superficial em \mathrm{pC}/\mathrm{m}^2 está correta porque dividimos carga (pC) por área ( \mathrm{m}^2).

Resposta

\displaystyle \sigma_{2}=-\frac{125+10\pi^{2}}{\pi}\\ \mathrm{pC}/\mathrm{m}^{2}\approx -71{,}205\\ \mathrm{pC}/\mathrm{m}^{2}

Exercícios relacionados