Uma carga pontual
, está localizada na origem do sistema de coordenadas esféricas. Uma distribuição esférica concêntrica de carga está localizada em
e possui densidade
. Que densidade de cargas distribuída sobre uma casca esférica de raio
resultaria em
na região
?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e faz a seguinte pergunta:
- Há uma carga pontual localizada na origem com valor
. - Há uma casca esférica concêntrica em
com densidade superficial de carga . - Pergunta: qual densidade superficial de carga sobre uma casca esférica de raio
faria com que na região ?
Informações relevantes listadas:
- Valor da carga pontual:
. - Densidade da casca em
: . - Raio da segunda casca:
. - Objetivo: encontrar
tal que para .
Passo 2
Conceito fundamental que vamos usar (explicado de forma didática): Lei de Gauss para o vetor deslocamento elétrico
.
- A Lei de Gauss para
diz que o fluxo de através de uma superfície fechada é igual à carga livre total encerrada por essa superfície:
- Aqui
é o vetor deslocamento elétrico; é o elemento de área (vetor, apontando para fora); e é a soma das cargas livres dentro da superfície. - Interpretação prática: se, para uma superfície fechada que engloba todas as cargas até
, queremos que fora dessa superfície ( ), isso implica que o fluxo de através de qualquer superfície maior é zero. Pela lei de Gauss isso só ocorre se a carga livre total encerrada por essa superfície for zero:
- Então, para garantir
em , a soma das cargas livres (carga pontual + carga na casca + carga na casca ) deve ser zero.
Passo 3
Calcular a carga total na casca em
.
- Fórmula para carga de uma casca esférica com densidade superficial constante:
onde
é a área da esfera de raio
, dada por
.
- Para a casca em
:
- A densidade dada é
. Então a carga total na casca é
- Vamos deixar
também em para somar com . Lembrando que , temos
Se quisermos um valor numérico,
Passo 4
Impor a condição de carga total zero e achar a carga necessária na casca de raio
.
- Denotando a carga na casca de raio
por , a condição para em é
- Substituindo
e (ou usar o valor numérico aproximado já calculado), obtemos
- Em pC fica mais limpo para manipular:
. Assim
- Valor numérico aproximado:
Passo 5
Calcular a densidade superficial
na casca de raio
.
- Área da esfera de raio
:
- A densidade superficial é
. Usando a expressão em pC:
- Podemos simplificar algebricamente dividindo numerador e denominador por
:
- Agora o valor numérico aproximado. Usando
e , obtemos
(Arredondando,
.)
Passo 6
Cheque rápido por intuição e unidade:
- Sinal negativo: faz sentido físico — como a carga pontual e a casca interna são positivas (2 nC e
nC), a casca externa precisa ter carga negativa de mesma magnitude para anular a carga total. - Unidade: densidade superficial em
está correta porque dividimos carga (pC) por área ( ).