O vetor campo elétrico produzido por um dipolo, cujas cargas estão distribuídas \pm d / 2 no eixo z, é \vec{E}=\frac{Q d}{4 \pi \epsilon_{0}}(\cos \theta \hat{r}+\sin \theta \hat{\theta}). Mostre que divergência desse campo é nula.
A pergunta é: mostrar que a divergência desse campo é nula.
Observação importante (vou esclarecer para não ficar dúvida): a forma física padrão do campo de dipolo pontual (obtida a partir do potencial dipolar) é
Sem o fator \,r^{-3} e sem o 2 no componente radial não se obtém a divergência nula para r\neq0. Vou trabalhar com a forma correta acima (que é a forma do dipolo no espaço livre, para r\neq0), e mostrar passo a passo que \nabla\cdot\vec{E}=0 para r\neq0.
Passo 2
Vamos usar a fórmula da divergência em coordenadas esféricas (com componentes A_r, A_\theta, A_\varphi numa base ortonormal):
Explicando cada termo de leve: \,A_{r} é a componente radial; \,A_{\theta} é a componente polar (ângulo \theta); \,A_{\varphi} é a componente azimutal. O primeiro termo mede variação radial do fluxo por área esférica, o segundo mede a variação angular polar, e o terceiro a variação azimutal.
Passo 3
Identificamos as componentes do campo dipolar que vamos usar:
defina a constante
Comentário final (intuitivo e útil para prova): a divergência local sendo zero significa que não há carga volumétrica espalhada pelo espaço fora da origem. Para o dipolo formado por duas cargas pontuais iguais e opostas, o campo é singular nas posições das cargas; na descrição do dipolo idealizado (limite) a origem concentra a singularidade e, em sentido de distribuições, aparecem termos tipo delta em derivadas. Mas para a verificação direta usando a fórmula da divergência em coordenadas esféricas, fica provado que para r\neq0 a divergência é zero.