O vetor campo elétrico produzido por um dipolo, cujas cargas estão distribuídas \pm d / 2 no eixo z, é \vec{E}=\frac{Q d}{4 \pi \epsilon_{0}}(\cos \theta \hat{r}+\sin \theta \hat{\theta}). Mostre que divergência desse campo é nula.

Passo 1

O enunciado dá o campo elétrico do dipolo como
\vec{E}=\frac{Q d}{4 \pi \epsilon_{0}}(\cos\theta\,\hat{r}+\sin\theta\,\hat{\theta}).
A pergunta é: mostrar que a divergência desse campo é nula.
Observação importante (vou esclarecer para não ficar dúvida): a forma física padrão do campo de dipolo pontual (obtida a partir do potencial dipolar) é
\vec{E}=\frac{Q d}{4\pi\epsilon_0}\frac{1}{r^{3}}\bigl(2\cos\theta\,\hat r+\sin\theta\,\hat\theta\bigr).
Sem o fator \,r^{-3} e sem o 2 no componente radial não se obtém a divergência nula para r\neq0. Vou trabalhar com a forma correta acima (que é a forma do dipolo no espaço livre, para r\neq0), e mostrar passo a passo que \nabla\cdot\vec{E}=0 para r\neq0.

Passo 2

Vamos usar a fórmula da divergência em coordenadas esféricas (com componentes A_r, A_\theta, A_\varphi numa base ortonormal):
\nabla\cdot\vec{A}=\frac{1}{r^{2}}\frac{\partial}{\partial r}\bigl(r^{2}A_{r}\bigr) +\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\bigl(\sin\theta\,A_{\theta}\bigr) +\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial A_{\varphi}}{\partial\varphi}.
Explicando cada termo de leve: \,A_{r} é a componente radial; \,A_{\theta} é a componente polar (ângulo \theta); \,A_{\varphi} é a componente azimutal. O primeiro termo mede variação radial do fluxo por área esférica, o segundo mede a variação angular polar, e o terceiro a variação azimutal.

Passo 3

Identificamos as componentes do campo dipolar que vamos usar:
defina a constante
C=\frac{Q d}{4\pi\epsilon_0}.
As componentes são
A_{r}=E_{r}=2C\frac{\cos\theta}{r^{3}}, \qquad A_{\theta}=E_{\theta}=C\frac{\sin\theta}{r^{3}}, \qquad A_{\varphi}=E_{\varphi}=0.
Vou calcular os dois primeiros termos da divergência (o terceiro é zero porque A_{\varphi}=0 e nada depende de \varphi).

Passo 4

Calcule o primeiro termo \displaystyle \frac{1}{r^{2}}\frac{\partial}{\partial r}\bigl(r^{2}A_{r}\bigr).
Primeiro formamos r^{2}A_{r}:
r^{2}A_{r}=r^{2}\cdot 2C\frac{\cos\theta}{r^{3}}=2C\frac{\cos\theta}{r}.
Agora derivamos em relação a r:
\frac{\partial}{\partial r}\bigl(r^{2}A_{r}\bigr) =\frac{\partial}{\partial r}\!\left(2C\frac{\cos\theta}{r}\right) =2C\cos\theta\cdot\frac{d}{dr}\!\left(r^{-1}\right) =2C\cos\theta\cdot(-1)r^{-2}=-2C\frac{\cos\theta}{r^{2}}.
Dividindo por r^{2} obtemos
\frac{1}{r^{2}}\frac{\partial}{\partial r}\bigl(r^{2}A_{r}\bigr) =\frac{1}{r^{2}}\left(-2C\frac{\cos\theta}{r^{2}}\right) =-2C\frac{\cos\theta}{r^{4}}.

Passo 5

Calcule o segundo termo \displaystyle \frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\bigl(\sin\theta\,A_{\theta}\bigr).
Primeiro formamos \sin\theta\,A_{\theta}:
\sin\theta\,A_{\theta}=\sin\theta\cdot C\frac{\sin\theta}{r^{3}}=C\frac{\sin^{2}\theta}{r^{3}}.
Derivando em relação a \theta:
\frac{\partial}{\partial\theta}\bigl(\sin\theta\,A_{\theta}\bigr) =\frac{\partial}{\partial\theta}\!\left(C\frac{\sin^{2}\theta}{r^{3}}\right) =C\frac{1}{r^{3}}\cdot 2\sin\theta\cos\theta =2C\frac{\sin\theta\cos\theta}{r^{3}}.
Agora multiplicamos por \displaystyle\frac{1}{r\sin\theta}:
\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\bigl(\sin\theta\,A_{\theta}\bigr) =\frac{1}{r\sin\theta}\cdot 2C\frac{\sin\theta\cos\theta}{r^{3}} =2C\frac{\cos\theta}{r^{4}}.

Passo 6

Some os dois termos (o terceiro termo é zero):
\nabla\cdot\vec{E} =\underbrace{\bigl(-2C\frac{\cos\theta}{r^{4}}\bigr)}_{\text{do passo 4}} +\underbrace{\bigl(2C\frac{\cos\theta}{r^{4}}\bigr)}_{\text{do passo 5}} +0 =0.
Portanto \nabla\cdot\vec{E}=0 para todo r\neq 0.
Comentário final (intuitivo e útil para prova): a divergência local sendo zero significa que não há carga volumétrica espalhada pelo espaço fora da origem. Para o dipolo formado por duas cargas pontuais iguais e opostas, o campo é singular nas posições das cargas; na descrição do dipolo idealizado (limite) a origem concentra a singularidade e, em sentido de distribuições, aparecem termos tipo delta em derivadas. Mas para a verificação direta usando a fórmula da divergência em coordenadas esféricas, fica provado que para r\neq0 a divergência é zero.

Resposta

0 (para r\neq0).

Exercícios relacionados