Seja o vetor densidade de fluxo de campo elétrico dado, em coordenadas cilídricas, por
. Determine o fluxo de campo elétrico que atravessa a porção do plano
definida por
. Repita o problema para
. Assuma o fluxo positivo no sentido
.
Passo 1
O enunciado dá o vetor densidade de fluxo elétrico, em coordenadas cilíndricas:
Pede-se o fluxo de
através da porção do plano
definida por
e por dois intervalos de
:
-
; -
.
Assume-se que o fluxo é positivo no sentido de.
Passo 2
Definição e preparação da integral: o fluxo de um campo
através de uma superfície
com vetor normal unitário
é
Aqui a superfície é o plano
com orientação positiva em
, logo
. Em coordenadas cilíndricas o elemento de área do disco no plano
é
onde
é o raio e
o ângulo (essa fórmula vem da transformação de coordenadas polares: área de um anel de espessura
é
, e em diferencial dá
).
As direções unitárias são ortonormais, então
e
. Portanto, só a componente de
na direção
contribui para o produto escalar com
. A componente em
do campo é
As direções unitárias
Assim o integrando
fica
onde reparo que o
se cancela — isso simplifica muito a integral.
Passo 3
Cálculo do fluxo para
.
Montamos a integral dupla:
Primeiro integramos em
(a integranda não depende de
):
Agora integramos em
:
Sabemos que
. Assim
Portanto
Interpretação rápida: o sinal negativo indica que o fluxo líquido atravessa o disco no sentido de
(para baixo), quando tomamos positivo como
.
Passo 4
Cálculo do fluxo para
.
Mesma integral, agora com limites diferentes em
:
Integrando primeiro em
(igual ao passo anterior):
Calcule a integral:
Portanto
Interpretação: aqui o fluxo líquido é positivo (saindo no sentido
).