Seja o vetor densidade de fluxo de campo elétrico dado, em coordenadas cilídricas, por \vec{D}=2 r \cos \varphi \hat{\varphi}-\frac{\sin \varphi}{3 r} \hat{k}. Determine o fluxo de campo elétrico que atravessa a porção do plano \mathrm{em} \mathrm{z}=0 definida por r \leq a, 0 \leq \varphi \leq \pi / 2. Repita o problema para \frac{\pi}{2} \leq \varphi \leq 2 \pi. Assuma o fluxo positivo no sentido \hat{k}.

Passo 1

O enunciado dá o vetor densidade de fluxo elétrico, em coordenadas cilíndricas:
\vec{D}=2 r \cos\varphi\,\hat{\varphi}-\frac{\sin\varphi}{3 r}\,\hat{k}.
Pede-se o fluxo de \vec{D} através da porção do plano z=0 definida por 0\le r\le a e por dois intervalos de \varphi:
  1. 0\le\varphi\le\pi/2;
  2. \pi/2\le\varphi\le 2\pi.
    Assume-se que o fluxo é positivo no sentido de \hat{k}.

Passo 2

Definição e preparação da integral: o fluxo de um campo \vec{D} através de uma superfície S com vetor normal unitário \hat{n} é
\Phi=\iint_{S}\vec{D}\cdot\hat{n}\,dS.
Aqui a superfície é o plano z=0 com orientação positiva em \hat{k}, logo \hat{n}=\hat{k}. Em coordenadas cilíndricas o elemento de área do disco no plano z=0 é
dS=r\,dr\,d\varphi,
onde r é o raio e \varphi o ângulo (essa fórmula vem da transformação de coordenadas polares: área de um anel de espessura dr é 2\pi_{\text{local}} r\,dr, e em diferencial dá r\,dr\,d\varphi).
As direções unitárias \hat{r},\hat{\varphi},\hat{k} são ortonormais, então \hat{\varphi}\cdot\hat{k}=0 e \hat{k}\cdot\hat{k}=1. Portanto, só a componente de \vec{D} na direção \hat{k} contribui para o produto escalar com \hat{k}. A componente em \hat{k} do campo é
D_k=-\frac{\sin\varphi}{3 r}.
Assim o integrando \vec{D}\cdot\hat{k}\,dS fica
D_k\,dS = -\frac{\sin\varphi}{3 r}\cdot (r\,dr\,d\varphi) = -\frac{\sin\varphi}{3}\,dr\,d\varphi,
onde reparo que o r se cancela — isso simplifica muito a integral.

Passo 3

Cálculo do fluxo para 0\le\varphi\le\pi/2.
Montamos a integral dupla:
\Phi_{[0,\pi/2]}=\int_{\varphi=0}^{\pi/2}\int_{r=0}^{a}\left(-\frac{\sin\varphi}{3}\right)dr\,d\varphi.
Primeiro integramos em r (a integranda não depende de r):
\int_{0}^{a}\left(-\frac{\sin\varphi}{3}\right)dr = -\frac{\sin\varphi}{3}\int_{0}^{a}dr = -\frac{\sin\varphi}{3}\,a = -\frac{a}{3}\sin\varphi.
Agora integramos em \varphi:
\Phi_{[0,\pi/2]} = -\frac{a}{3}\int_{0}^{\pi/2}\sin\varphi\,d\varphi.
Sabemos que \int \sin\varphi\,d\varphi = -\cos\varphi. Assim
\int_{0}^{\pi/2}\sin\varphi\,d\varphi = [-\cos\varphi]_{0}^{\pi/2} = -\cos\left(\tfrac{\pi}{2}\right) + \cos(0) = -0 + 1 = 1.
Portanto
\Phi_{[0,\pi/2]} = -\frac{a}{3}\cdot 1 = -\frac{a}{3}.
Interpretação rápida: o sinal negativo indica que o fluxo líquido atravessa o disco no sentido de -\hat{k} (para baixo), quando tomamos positivo como \hat{k}.

Passo 4

Cálculo do fluxo para \pi/2\le\varphi\le 2\pi.
Mesma integral, agora com limites diferentes em \varphi:
\Phi_{[\pi/2,2\pi]}=\int_{\varphi=\pi/2}^{2\pi}\int_{r=0}^{a}\left(-\frac{\sin\varphi}{3}\right)dr\,d\varphi.
Integrando primeiro em r (igual ao passo anterior):
\Phi_{[\pi/2,2\pi]} = -\frac{a}{3}\int_{\pi/2}^{2\pi}\sin\varphi\,d\varphi.
Calcule a integral:
\int_{\pi/2}^{2\pi}\sin\varphi\,d\varphi = [-\cos\varphi]_{\pi/2}^{2\pi} = -\cos(2\pi) + \cos\left(\tfrac{\pi}{2}\right) = -1 + 0 = -1.
Portanto
\Phi_{[\pi/2,2\pi]} = -\frac{a}{3}\cdot(-1) = \frac{a}{3}.
Interpretação: aqui o fluxo líquido é positivo (saindo no sentido \hat{k}).

Resposta

-\dfrac{a}{3}
\dfrac{a}{3}

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