Sendo um campo vetorial representado por \vec{F}=\frac{10}{r^{2}} \hat{r}+5 e^{-2 z} \hat{k}, determine o diverdente dele no ponto ( 2, \varphi, 1 ).

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial
\vec{F}=\frac{10}{r^{2}}\hat{r}+5e^{-2z}\hat{k}
e pede o divergente dele no ponto (2,\varphi,1). Informações relevantes que temos:
  • O ponto está em coordenadas cilíndricas: (r,\varphi,z)=(2,\varphi,1). Note que o ângulo \varphi não foi especificado, ou seja, é qualquer valor; se o divergente não depender de \varphi o resultado vale para qualquer \varphi.
  • O campo está dado em componentes nas direções \hat{r} (radial cilíndrico), \hat{\varphi} (azimutal) e \hat{k} (axial, direção z). Observamos que não há componente em \hat{\varphi} explícita, logo F_{\varphi}=0.
  • Nosso objetivo: calcular \nabla\cdot\vec{F} e avaliá-lo em r=2, z=1.

Passo 2

O que é o divergente e qual fórmula usar aqui? Aula rápida e prática:
  • O divergente de um campo vetorial mede a taxa líquida de “saída” do campo por unidade de volume em um ponto — intuitivamente, se o campo “espirra” para fora do ponto o divergente é positivo, se converge para dentro é negativo.
  • Em coordenadas cilíndricas, para um campo com componentes F_{r},F_{\varphi},F_{z} (funções de r,\varphi,z), a fórmula do divergente é
\nabla\cdot\vec{F}=\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\big(rF_{r}\big)+\frac{1}{r}\frac{\partial F_{\varphi}}{\partial \varphi}+\frac{\partial F_{z}}{\partial z}.
Expliquei cada termo:
  • r é a coordenada radial (distância ao eixo z).
  • F_{r} é a componente radial do campo (multiplicada por \hat r).
  • F_{\varphi} é a componente na direção azimutal \hat\varphi.
  • F_{z} é a componente axial (na direção \hat k).
  • O primeiro termo \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}(rF_{r}) aparece porque as linhas de área dependem de r em coordenadas cilíndricas; por isso vem o fator r dentro da derivada.

Passo 3

Identificamos as componentes do campo dado:
F_{r}=\frac{10}{r^{2}},\qquad F_{\varphi}=0,\qquad F_{z}=5e^{-2z}.
Anote mentalmente: F_{\varphi}=0 facilita bastante a conta porque o segundo termo da fórmula some.

Passo 4

Calculemos o primeiro termo \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}(rF_{r}).
  • Primeiro formamos rF_{r}:
rF_{r}=r\cdot\frac{10}{r^{2}}=\frac{10}{r}.
  • Agora derivamos em relação a r:
\frac{\partial}{\partial r}\left(\frac{10}{r}\right)=\frac{\partial}{\partial r}\big(10 r^{-1}\big)=10\cdot(-1)r^{-2}=-\frac{10}{r^{2}}.
  • Finalmente multiplicamos por \frac{1}{r}:
\frac{1}{r}\left(-\frac{10}{r^{2}}\right)=-\frac{10}{r^{3}}.

Passo 5

O segundo termo \frac{1}{r}\frac{\partial F_{\varphi}}{\partial \varphi} é nulo porque F_{\varphi}=0 identicamente. Logo
\frac{1}{r}\frac{\partial F_{\varphi}}{\partial \varphi}=0.

Passo 6

Calculemos o terceiro termo \frac{\partial F_{z}}{\partial z}.
  • Temos F_{z}=5e^{-2z}. Derivando em z:
\frac{\partial}{\partial z}\big(5e^{-2z}\big)=5\cdot(-2)e^{-2z}=-10e^{-2z}.

Passo 7

Agora juntamos os termos para obter o divergente geral (antes de avaliar no ponto):
\nabla\cdot\vec{F}=-\frac{10}{r^{3}}+0-10e^{-2z}=-\frac{10}{r^{3}}-10e^{-2z}.
Comentário: o divergente não depende de \varphi (boa notícia), depende só de r e z.

Passo 8

Avaliemos em (r,z)=(2,1):
  • Primeiro termo: -\dfrac{10}{r^{3}}=-\dfrac{10}{2^{3}}=-\dfrac{10}{8}=-\dfrac{5}{4}.
  • Segundo termo: -10e^{-2z}=-10e^{-2\cdot 1}=-10e^{-2}.
    Somando:
\nabla\cdot\vec{F}\big|_{(2,\varphi,1)}=-\frac{5}{4}-10e^{-2}.

Passo 9

Se quiser um valor numérico aproximado, use e^{-2}\approx0{,}135335, assim
-10e^{-2}\approx-1{,}35335
e
-\frac{5}{4}=-1{,}25,
portanto o somatório aproximado é
-1{,}25-1{,}35335\approx-2{,}60335.

Resposta

-\dfrac{5}{4}-10e^{-2}\approx -2{,}60335

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