Sendo um campo vetorial representado por \vec{F}=\frac{10}{r^{2}} \hat{r}+5 e^{-2 z} \hat{k}, determine o diverdente dele no ponto ( 2, \varphi, 1 ).
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial
\vec{F}=\frac{10}{r^{2}}\hat{r}+5e^{-2z}\hat{k}
e pede o divergente dele no ponto (2,\varphi,1). Informações relevantes que temos:
O ponto está em coordenadas cilíndricas: (r,\varphi,z)=(2,\varphi,1). Note que o ângulo \varphi não foi especificado, ou seja, é qualquer valor; se o divergente não depender de \varphi o resultado vale para qualquer \varphi.
O campo está dado em componentes nas direções \hat{r} (radial cilíndrico), \hat{\varphi} (azimutal) e \hat{k} (axial, direção z). Observamos que não há componente em \hat{\varphi} explícita, logo F_{\varphi}=0.
Nosso objetivo: calcular \nabla\cdot\vec{F} e avaliá-lo em r=2, z=1.
Passo 2
O que é o divergente e qual fórmula usar aqui? Aula rápida e prática:
O divergente de um campo vetorial mede a taxa líquida de “saída” do campo por unidade de volume em um ponto — intuitivamente, se o campo “espirra” para fora do ponto o divergente é positivo, se converge para dentro é negativo.
Em coordenadas cilíndricas, para um campo com componentes F_{r},F_{\varphi},F_{z} (funções de r,\varphi,z), a fórmula do divergente é
F_{r} é a componente radial do campo (multiplicada por \hat r).
F_{\varphi} é a componente na direção azimutal \hat\varphi.
F_{z} é a componente axial (na direção \hat k).
O primeiro termo \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}(rF_{r}) aparece porque as linhas de área dependem de r em coordenadas cilíndricas; por isso vem o fator r dentro da derivada.