Uma carga pontual \mathrm{Q}=-3 \mu \mathrm{C} está localizada em um ponto P no centro de uma superficie gaussiana esférica de raio igual a 0,50 \mathrm{~m}. Determine O módulo e o sentido do vetor campo elétrico em P.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • Uma carga pontual Q=-3\,\mu\mathrm{C}. Ou seja, Q=-3\times10^{-6}\\ \mathrm{C}.
    • A carga está localizada em um ponto P que é o centro de uma superfície gaussiana esférica de raio 0,50\\ \mathrm{m}. Ou seja, o raio é r=0,50\\ \mathrm{m}.
  • O que o enunciado pede:
    • Determinar o módulo e o sentido do vetor campo elétrico em P.
Observação importante (sem ainda resolver): o enunciado coloca a carga exatamente em P (o centro). Isso abre duas coisas que preciso esclarecer antes de calcular: o campo elétrico no próprio ponto onde está a carga e o campo elétrico em pontos da superfície esférica a distância r=0,50\\ \mathrm{m} do centro. Vou tratar essas duas situações de forma didática.

Passo 2

Entendendo o que significa calcular o campo elétrico produzido por uma carga pontual: a lei de Coulomb (para o campo devido a uma carga pontual) diz que, num ponto a uma distância r da carga,
\vec{E}(\vec{r})=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\dfrac{Q}{r^{2}}\,\hat{r},
onde:
  • \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo ( \varepsilon_0\approx8,854\times10^{-12}\\ \mathrm{C^2/(N\,m^2)}),
  • \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0} é a constante k (aproximadamente 8,99\times10^{9}\\ \mathrm{N\,m^{2}/C^{2}}),
  • r é a distância entre o ponto onde se quer o campo e a carga,
  • \hat{r} é o versor radial apontando do centro da carga para o ponto onde se mede o campo.
Repare o seguinte: a expressão tem um termo 1/r^{2}. Se tentarmos avaliar o campo exatamente na posição da carga, isto é, com r=0, o termo 1/r^{2} diverge para infinito. Portanto o campo elétrico definido por essa fórmula não tem valor finito no próprio ponto onde está a carga; diz-se que o campo é indefinido (ou tende ao infinito) no local da carga pontual.
Conclusão intermediária (importante): o campo elétrico no ponto onde a carga pontual está localizada não é um número finito — a expressão física mostra divergência em r=0. Logo, se a pergunta for estritamente “o campo em P, sendo P o local da carga”, a resposta é que o campo é indefinido (infinito).

Passo 3

Mas muitos exercícios que mencionam uma “superfície gaussiana esférica de raio 0,50\\ \mathrm{m} com a carga no centro” querem o campo em pontos sobre essa superfície (ou seja, a r=0,50\\ \mathrm{m} do centro). Vou mostrar como se obtém o campo elétrico em qualquer ponto a uma distância r=0,50\\ \mathrm{m} da carga, usando Gauss e simetria — e depois calcular numericamente. Isso é útil para a prova e é o procedimento que o professor normalmente espera.

Passo 4

Aplicando a lei de Gauss para uma carga pontual no centro de uma superfície esférica:
A lei de Gauss diz
\oint_{S}\vec{E}\cdot d\vec{A}=\dfrac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0},
onde Q_{\text{int}} é a carga total dentro da superfície.
Por simetria esférica, em uma esfera concêntrica com a carga, o campo tem a mesma magnitude em toda a superfície e é radial. Então \vec{E} e d\vec{A} são paralelos, e a integral fica
E\cdot 4\pi r^{2}=\dfrac{Q}{\varepsilon_0}.
Isolando E,
E=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0\,r^{2}}.
Essa expressão é exatamente a do passo anterior (lei de Coulomb), mas derivada de Gauss usando simetria.

Passo 5

Agora substituímos os valores numéricos para a distância r=0,50\\ \mathrm{m} (distância do centro até a superfície esférica):
Primeiro, escrever Q em coulombs:
Q=-3\,\mu\mathrm{C}=-3\times10^{-6}\\ \mathrm{C}.
A magnitude do campo (sempre positiva) é
E=\dfrac{|Q|}{4\pi\varepsilon_0\,r^{2}}=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\dfrac{|Q|}{r^{2}}.
Usando k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\approx8,99\times10^{9}\\ \mathrm{N\,m^{2}/C^{2}}, temos
E\approx k\,\dfrac{|Q|}{r^{2}}.
Substituindo os números:
E\approx (8,99\times10^{9})\cdot\dfrac{3\times10^{-6}}{(0,50)^{2}}\\ \mathrm{N/C}.
Calcule passo a passo:
  • (0,50)^{2}=0,25.
  • O numerador é 8,99\times10^{9}\times3\times10^{-6}=26,97\times10^{3}=2,697\times10^{4}.
  • Dividindo por 0,25 multiplica por 4: 2,697\times10^{4}\times4=1,0788\times10^{5}.
Arredondando razoavelmente:
E\approx1,08\times10^{5}\\ \mathrm{N/C}.

Passo 6

Determinar o sentido (direção) do vetor campo:
  • A carga é negativa ( Q<0). O campo elétrico criado por uma carga pontual é radial e aponta para fora se a carga for positiva e para dentro (em direção à carga) se for negativa.
  • Portanto, para Q=-3\,\mu\mathrm{C}, o campo em pontos da esfera de raio 0,50\\ \mathrm{m} tem direção radial apontando para o centro da esfera (ou seja, sentido dirigido para P).
Lembrete final importante: reafirmando a distinção:
  • No próprio ponto onde a carga está localizada ( r=0, isto é, em P se P é a posição da carga), o campo não é finito — a fórmula diverge. Logo o campo em exatamente P (local da carga pontual) é indefinido/infinito.
  • Em qualquer ponto a uma distância r=0,50\\ \mathrm{m} do centro (por exemplo, em qualquer ponto da superfície gaussiana indicada), o módulo do campo é 1,08\times10^{5}\\ \mathrm{N/C} e o sentido é radial para dentro.
Força extra de ânimo: essas confusões com “campo no próprio ponto da carga” aparecem muito nas provas — é normal ficar em dúvida. O truque é lembrar que campo de carga pontual diverge em r=0 e usar Gauss para pontos a distância finita.

Resposta

O campo elétrico exatamente no ponto P onde a carga pontual está localizado é indefinido (tende ao infinito).
O módulo do campo elétrico a uma distância r=0,50\\ \mathrm{m} (por exemplo, em qualquer ponto da superfície esférica) é 1,08\times10^{5}\\ \mathrm{N/C}, dirigido radialmente para dentro (sentido apontando para o centro, porque a carga é negativa).

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