Uma carga pontual
está localizada em um ponto P no centro de uma superficie gaussiana esférica de raio igual a
. Determine O módulo e o sentido do vetor campo elétrico em P.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
-
Dados fornecidos:
- Uma carga pontual
. Ou seja, . - A carga está localizada em um ponto
que é o centro de uma superfície gaussiana esférica de raio . Ou seja, o raio é .
- Uma carga pontual
-
O que o enunciado pede:
- Determinar o módulo e o sentido do vetor campo elétrico em
.
- Determinar o módulo e o sentido do vetor campo elétrico em
Observação importante (sem ainda resolver): o enunciado coloca a carga exatamente em
(o centro). Isso abre duas coisas que preciso esclarecer antes de calcular: o campo elétrico no próprio ponto onde está a carga e o campo elétrico em pontos da superfície esférica a distância
do centro. Vou tratar essas duas situações de forma didática.
Passo 2
Entendendo o que significa calcular o campo elétrico produzido por uma carga pontual: a lei de Coulomb (para o campo devido a uma carga pontual) diz que, num ponto a uma distância
da carga,
onde:
-
é a permissividade do vácuo ( ), -
é a constante (aproximadamente ), -
é a distância entre o ponto onde se quer o campo e a carga, -
é o versor radial apontando do centro da carga para o ponto onde se mede o campo.
Repare o seguinte: a expressão tem um termo
. Se tentarmos avaliar o campo exatamente na posição da carga, isto é, com
, o termo
diverge para infinito. Portanto o campo elétrico definido por essa fórmula não tem valor finito no próprio ponto onde está a carga; diz-se que o campo é indefinido (ou tende ao infinito) no local da carga pontual.
Conclusão intermediária (importante): o campo elétrico no ponto onde a carga pontual está localizada não é um número finito — a expressão física mostra divergência em
. Logo, se a pergunta for estritamente “o campo em
, sendo
o local da carga”, a resposta é que o campo é indefinido (infinito).
Passo 3
Mas muitos exercícios que mencionam uma “superfície gaussiana esférica de raio
com a carga no centro” querem o campo em pontos sobre essa superfície (ou seja, a
do centro). Vou mostrar como se obtém o campo elétrico em qualquer ponto a uma distância
da carga, usando Gauss e simetria — e depois calcular numericamente. Isso é útil para a prova e é o procedimento que o professor normalmente espera.
Passo 4
Aplicando a lei de Gauss para uma carga pontual no centro de uma superfície esférica:
A lei de Gauss diz
onde
é a carga total dentro da superfície.
Por simetria esférica, em uma esfera concêntrica com a carga, o campo tem a mesma magnitude em toda a superfície e é radial. Então
e
são paralelos, e a integral fica
Isolando
,
Essa expressão é exatamente a do passo anterior (lei de Coulomb), mas derivada de Gauss usando simetria.
Passo 5
Agora substituímos os valores numéricos para a distância
(distância do centro até a superfície esférica):
Primeiro, escrever
em coulombs:
A magnitude do campo (sempre positiva) é
Usando
, temos
Substituindo os números:
Calcule passo a passo:
-
. - O numerador é
. - Dividindo por
multiplica por : .
Arredondando razoavelmente:
Passo 6
Determinar o sentido (direção) do vetor campo:
- A carga é negativa (
). O campo elétrico criado por uma carga pontual é radial e aponta para fora se a carga for positiva e para dentro (em direção à carga) se for negativa. - Portanto, para
, o campo em pontos da esfera de raio tem direção radial apontando para o centro da esfera (ou seja, sentido dirigido para ).
Lembrete final importante: reafirmando a distinção:
- No próprio ponto onde a carga está localizada (
, isto é, em se é a posição da carga), o campo não é finito — a fórmula diverge. Logo o campo em exatamente (local da carga pontual) é indefinido/infinito. - Em qualquer ponto a uma distância
do centro (por exemplo, em qualquer ponto da superfície gaussiana indicada), o módulo do campo é e o sentido é radial para dentro.
Força extra de ânimo: essas confusões com “campo no próprio ponto da carga” aparecem muito nas provas — é normal ficar em dúvida. O truque é lembrar que campo de carga pontual diverge em
e usar Gauss para pontos a distância finita.
Resposta
O campo elétrico exatamente no ponto
onde a carga pontual está localizado é indefinido (tende ao infinito).
O módulo do campo elétrico a uma distância (por exemplo, em qualquer ponto da superfície esférica) é
, dirigido radialmente para dentro (sentido apontando para o centro, porque a carga é negativa).
O módulo do campo elétrico a uma distância