Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, encontre o limite.
\sum_{n=1}^{\infty} \sqrt[n]{\frac{1}{2}}

Passo 1

Vou deixar claro o que o enunciado pede e quais são os dados que temos.
  • O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \sqrt[n]{\frac{1}{2}}
é convergente ou divergente. Se for convergente, também pede o valor do limite (soma).
  • A informação que temos é a expressão do termo geral da série: para cada n\ge 1,
a_n=\sqrt[n]{\frac{1}{2}}=\left(\frac{1}{2}\right)^{1/n}.

Passo 2

Lembrete importante (fórmula/critério que vamos usar): uma condição necessária para que uma série numérica \sum_{n=1}^\infty a_n converja é que o termo geral a_n tenda a zero quando n\to\infty. Em outras palavras, se
\lim_{n\to\infty} a_n \neq 0,
então a série diverge imediatamente (teste do termo geral ou condição necessária para convergência).
Agora vamos calcular o limite do termo geral a_n. É útil escrever a_n em termos de exponencial e logaritmo para poder passar o expoente para fora do logaritmo:
a_n=\left(\frac{1}{2}\right)^{1/n}=e^{\frac{\ln(1/2)}{n}}.
Observe que \ln(1/2)=-\ln 2 é uma constante finita.

Passo 3

Calculemos o limite usando a expressão exponencial:
\lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} e^{\frac{\ln(1/2)}{n}} = e^{\lim_{n\to\infty} \frac{\ln(1/2)}{n}}.
Como \ln(1/2) é constante e \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0, segue que
\lim_{n\to\infty} \frac{\ln(1/2)}{n}=0,
portanto
\lim_{n\to\infty} a_n = e^{0}=1.
Uma explicação intuitiva: \left(\dfrac{1}{2}\right)^{1/n} é a raiz n-ésima de 1/2; para raízes cada vez maiores, o resultado se aproxima de 1 (por exemplo \sqrt[1000]{1/2} está muito perto de 1).

Passo 4

Aplicando o critério do Passo 2: como
\lim_{n\to\infty} a_n = 1 \neq 0,
a condição necessária para que a série \sum_{n=1}^\infty a_n converja não é satisfeita. Logo, a série não pode convergir — ela diverge.

Resposta

Divergente

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