Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, encontre o limite.
Passo 1
Vou deixar claro o que o enunciado pede e quais são os dados que temos.
- O enunciado pede para determinar se a série
é convergente ou divergente. Se for convergente, também pede o valor do limite (soma).
- A informação que temos é a expressão do termo geral da série: para cada
,
Passo 2
Lembrete importante (fórmula/critério que vamos usar): uma condição necessária para que uma série numérica
converja é que o termo geral
tenda a zero quando
. Em outras palavras, se
então a série diverge imediatamente (teste do termo geral ou condição necessária para convergência).
Agora vamos calcular o limite do termo geral
. É útil escrever
em termos de exponencial e logaritmo para poder passar o expoente para fora do logaritmo:
Observe que
é uma constante finita.
Passo 3
Calculemos o limite usando a expressão exponencial:
Como
é constante e
, segue que
portanto
Uma explicação intuitiva:
é a raiz
-ésima de
; para raízes cada vez maiores, o resultado se aproxima de
(por exemplo
está muito perto de
).
Passo 4
Aplicando o critério do Passo 2: como
a condição necessária para que a série
converja não é satisfeita. Logo, a série não pode convergir — ela diverge.
Resposta
Divergente