Uma esfera oca condutora possui raio de a e carga total Q. Determine o campo elétrico: a) no interior da esfera; b) Na superficie da esfera e, c) fora da esfera.
Passo 1
O enunciado fornece e pede o seguinte (lista clara do que temos e do que se pede):
- Dado: uma esfera oca condutora de raio
com carga total . - Perguntas:
(a) Determinar o campo elétrico no interior da cavidade da esfera (isto é, para).
(b) Determinar o campo elétrico na superfície da esfera (isto é, no ponto onde).
(c) Determinar o campo elétrico fora da esfera (isto é, para).
Passo 2
Entender propriedades físicas que valem para uma esfera condutora em equilíbrio eletrostático (aulas rápidas e intuitivas).
- Em um condutor em equilíbrio eletrostático, os elétrons se reorganizam até que o campo elétrico dentro do material condutor seja zero. Isso ocorre porque, se houvesse campo, as cargas móveis continuariam a se mover.
- Como consequência, toda a carga elétrica livre de um condutor no equilíbrio se distribui sobre a superfície externa do condutor. Para uma esfera oca condutora carregada, a carga total
fica na superfície externa de raio . - Essas propriedades são fundamentais e valem independentemente do formato, mas para a esfera há ainda simetria esférica, o que simplifica muito os cálculos.
Passo 3
Apresentar a lei que vamos usar (Gauss) e explicar por que ela é adequada aqui.
- A Lei de Gauss (forma integral) diz que o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada vale a carga total interna dividida por
:
- Aqui
é o campo elétrico em cada ponto da superfície, é o vetor área (módulo igual à área infinitesimal, direção normal para fora), e é a carga contida dentro da superfície fechada. - Por que usar Gauss? Porque temos simetria esférica: para uma superfície esférica concêntrica ao condutor o campo, se existir, será radial e terá mesmo módulo em todos os pontos a mesma distância do centro. Isso permite tirar
fora da integral e resolver facilmente.
Passo 4
Calcular o campo para
(interior da esfera oca) usando uma superfície gaussiana esférica de raio
.
- Escolha: superfície gaussiana = esfera de raio
com , centrada no mesmo centro da concha. - Qual é a carga dentro dessa superfície? Pelo passo 2, toda a carga
está na superfície externa de raio . Assim, para não há carga dentro da superfície gaussiana:
- Aplicando Gauss:
onde foi usado que
é radial e de módulo uniforme sobre a esfera, então a integral vira
área da esfera
.
- Dessa igualdade segue:
- Aula curta: isso significa que dentro da cavidade da esfera condutora o campo elétrico é nulo. Intuitivamente: as cargas na superfície externa cancelam qualquer campo dentro.
Passo 5
Determinar o campo imediatamente fora da superfície (
) e comentar o valor exatamente na superfície.
- Primeiro, calcule o campo para
(ver próximo passo) e depois avalie o limite quando . - Também usar a relação de descontinuidade do campo elétrico na presença de densidade superficial de carga
:
onde
é o normal unitário para fora,
e
são os limites do campo logo fora e logo dentro da superfície, e
é a densidade de carga superficial local.
- Para nossa esfera condutora com carga total
, a densidade superficial é uniforme (pela simetria esférica):
- Como do Passo 4 sabemos que
na superfície (limite interior), então a normalidade diz:
ou seja, o campo imediatamente fora da superfície vale
apontando radialmente para fora (se
).
- Sobre o campo “na superfície” exatamente no ponto matemático da superfície: estritamente falando, devido à presença de carga superficial, o campo em um ponto de uma superfície carregada não é bem definido como um único valor — há os limites por dentro (zero) e por fora (valor acima). Em física prática, quando se diz “campo na superfície do condutor” costuma-se referir ao valor imediatamente fora da superfície, isto é
. Se alguém pedir a média das duas vizinhanças, essa média é , mas isso é apenas uma convenção matemática; o resultado físico relevante é o campo fora e o campo dentro (0).
Passo 6
Calcular explicitamente o campo para
(fora da esfera) usando Gauss novamente.
- Escolha: superfície gaussiana = esfera de raio
com , centrada no mesmo centro. - Agora a carga interna à superfície gaussiana é toda a carga
(a carga está na superfície de raio , e a esfera gaussiana envolve isso). Então . - Aplicando Gauss:
- Isolando
:
e a direção é radial (vetor
), apontando para fora se
, para dentro se
.
Passo 7
Interpretação final e checagem de limites.
- Para
obtemos , coerente com o fato de que o interior de um condutor em equilíbrio não possui campo elétrico. - Para
obtemos , que coincide com a fórmula externa avaliada em . - Para
obtivemos o mesmo campo que uma carga pontual colocada no centro: . Física intuitiva: à distância, a esfera carregada comporta-se como carga pontual concentrada no centro.
Resposta
(a)
(b) (valor imediatamente fora da superfície, radialmente para fora se
).
(c) radialmente.
(b)
(c)