Uma esfera oca condutora possui raio de a e carga total Q. Determine o campo elétrico: a) no interior da esfera; b) Na superficie da esfera e, c) fora da esfera.

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte (lista clara do que temos e do que se pede):
  • Dado: uma esfera oca condutora de raio a com carga total Q.
  • Perguntas:
    (a) Determinar o campo elétrico no interior da cavidade da esfera (isto é, para r<a).
    (b) Determinar o campo elétrico na superfície da esfera (isto é, no ponto onde r=a).
    (c) Determinar o campo elétrico fora da esfera (isto é, para r>a).

Passo 2

Entender propriedades físicas que valem para uma esfera condutora em equilíbrio eletrostático (aulas rápidas e intuitivas).
  • Em um condutor em equilíbrio eletrostático, os elétrons se reorganizam até que o campo elétrico dentro do material condutor seja zero. Isso ocorre porque, se houvesse campo, as cargas móveis continuariam a se mover.
  • Como consequência, toda a carga elétrica livre de um condutor no equilíbrio se distribui sobre a superfície externa do condutor. Para uma esfera oca condutora carregada, a carga total Q fica na superfície externa de raio a.
  • Essas propriedades são fundamentais e valem independentemente do formato, mas para a esfera há ainda simetria esférica, o que simplifica muito os cálculos.

Passo 3

Apresentar a lei que vamos usar (Gauss) e explicar por que ela é adequada aqui.
  • A Lei de Gauss (forma integral) diz que o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada vale a carga total interna dividida por \varepsilon_0:
\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} = \frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0}.
  • Aqui \mathbf{E} é o campo elétrico em cada ponto da superfície, d\mathbf{A} é o vetor área (módulo igual à área infinitesimal, direção normal para fora), e Q_{\text{int}} é a carga contida dentro da superfície fechada.
  • Por que usar Gauss? Porque temos simetria esférica: para uma superfície esférica concêntrica ao condutor o campo, se existir, será radial e terá mesmo módulo em todos os pontos a mesma distância do centro. Isso permite tirar E fora da integral e resolver facilmente.

Passo 4

Calcular o campo para r<a (interior da esfera oca) usando uma superfície gaussiana esférica de raio r<a.
  • Escolha: superfície gaussiana = esfera de raio r com r<a, centrada no mesmo centro da concha.
  • Qual é a carga dentro dessa superfície? Pelo passo 2, toda a carga Q está na superfície externa de raio a. Assim, para r<a não há carga dentro da superfície gaussiana:
Q_{\text{int}}=0.
  • Aplicando Gauss:
\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} = E(r)\cdot 4\pi r^{2} = \frac{0}{\varepsilon_0}=0,
onde foi usado que \mathbf{E} é radial e de módulo uniforme sobre a esfera, então a integral vira E(r)\times área da esfera 4\pi r^2.
  • Dessa igualdade segue:
E(r)\cdot 4\pi r^{2}=0 \quad\Rightarrow\quad E(r)=0\quad\text{para } r<a.
  • Aula curta: isso significa que dentro da cavidade da esfera condutora o campo elétrico é nulo. Intuitivamente: as cargas na superfície externa cancelam qualquer campo dentro.

Passo 5

Determinar o campo imediatamente fora da superfície ( r=a^+) e comentar o valor exatamente na superfície.
  • Primeiro, calcule o campo para r>a (ver próximo passo) e depois avalie o limite quando r\to a^+.
  • Também usar a relação de descontinuidade do campo elétrico na presença de densidade superficial de carga \sigma:
\mathbf{E}_{\text{out}}-\mathbf{E}_{\text{in}} = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}\,\hat{n},
onde \hat{n} é o normal unitário para fora, \mathbf{E}_{\text{out}} e \mathbf{E}_{\text{in}} são os limites do campo logo fora e logo dentro da superfície, e \sigma é a densidade de carga superficial local.
  • Para nossa esfera condutora com carga total Q, a densidade superficial é uniforme (pela simetria esférica):
\sigma = \frac{Q}{4\pi a^{2}}.
  • Como do Passo 4 sabemos que \mathbf{E}_{\text{in}}=0 na superfície (limite interior), então a normalidade diz:
\mathbf{E}_{\text{out}} = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}\,\hat{r} = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 a^{2}}\,\hat{r},
ou seja, o campo imediatamente fora da superfície vale \dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0 a^{2}} apontando radialmente para fora (se Q>0).
  • Sobre o campo “na superfície” exatamente no ponto matemático da superfície: estritamente falando, devido à presença de carga superficial, o campo em um ponto de uma superfície carregada não é bem definido como um único valor — há os limites por dentro (zero) e por fora (valor acima). Em física prática, quando se diz “campo na superfície do condutor” costuma-se referir ao valor imediatamente fora da superfície, isto é \dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0 a^{2}}. Se alguém pedir a média das duas vizinhanças, essa média é \dfrac{1}{2}\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0 a^{2}}, mas isso é apenas uma convenção matemática; o resultado físico relevante é o campo fora e o campo dentro (0).

Passo 6

Calcular explicitamente o campo para r>a (fora da esfera) usando Gauss novamente.
  • Escolha: superfície gaussiana = esfera de raio r com r>a, centrada no mesmo centro.
  • Agora a carga interna à superfície gaussiana é toda a carga Q (a carga está na superfície de raio a, e a esfera gaussiana envolve isso). Então Q_{\text{int}}=Q.
  • Aplicando Gauss:
\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} = E(r)\cdot 4\pi r^{2} = \frac{Q}{\varepsilon_0}.
  • Isolando E(r):
E(r) = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^{2}}\quad\text{para } r>a,
e a direção é radial (vetor \mathbf{E}(r)=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^{2}}\,\hat{r}), apontando para fora se Q>0, para dentro se Q<0.

Passo 7

Interpretação final e checagem de limites.
  • Para r<a obtemos E=0, coerente com o fato de que o interior de um condutor em equilíbrio não possui campo elétrico.
  • Para r=a^+ obtemos E=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0 a^{2}}, que coincide com a fórmula externa avaliada em r=a.
  • Para r>a obtivemos o mesmo campo que uma carga pontual Q colocada no centro: E=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^{2}}. Física intuitiva: à distância, a esfera carregada comporta-se como carga pontual concentrada no centro.

Resposta

(a) \displaystyle E(r)=0\quad\text{para }r<a.
(b) \displaystyle E\bigl(r=a\bigr)=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 a^{2}} (valor imediatamente fora da superfície, radialmente para fora se Q>0).
(c) \displaystyle E(r)=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^{2}}\quad\text{para }r>a, radialmente.

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