Uma carga pontual de 5 nC está localizada em ( -3,4,0 ), enquanto que uma linha em ( y=1, z=1 ) esta carregada uniformemente com 2 \mathrm{nC} / \mathrm{m}.
Se V=-5 \mathrm{~V} em ( 0,0,0 ), determine a diferença de potencial entre o ponto ( 1,2,1 ) com relação ao ponto ( -2,5,3 ).

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o seguinte:
  • Carga pontual q=5\\ \mathrm{nC}=5\cdot10^{-9}\\ \mathrm{C} localizada em (-3,4,0).
  • Uma linha (reta) definida por y=1,\;z=1 (ou seja, uma reta paralela ao eixo x que passa por (0,1,1)) está carregada uniformemente com densidade linear \lambda=2\\ \mathrm{nC/m}=2\cdot10^{-9}\\ \mathrm{C/m}.
  • Está informado que V=-5\\ \mathrm{V} em (0,0,0) (valor absoluto no ponto origem).
  • Pergunta: determinar a diferença de potencial entre o ponto A=(1,2,1) com relação ao ponto B=(-2,5,3); isto é, calcular
\Delta V = V(A)-V(B).
  • Observações importantes (apenas listadas): todos os pontos estão no espaço tridimensional usual; não há figura adicional.

Passo 2

Como a energia potencial elétrica (potencial) é uma grandeza escalar e as fontes são independentes, a contribuição total ao potencial em um ponto é a soma das contribuições de cada fonte. Logo
V(\mathbf{r}) = V_{\text{ponto}}(\mathbf{r}) + V_{\text{linha}}(\mathbf{r}) + C,
onde C é uma constante de referência que pode existir para a linha infinita. Porém, ao calcular a diferença \Delta V = V(A)-V(B) essa constante C desaparece, então não precisamos conhecer C.
Agora as fórmulas que vamos usar (vou explicar cada uma):
  1. Potencial devido a uma carga pontual q no ponto \mathbf{r}_q:
V_{\text{ponto}}(\mathbf{r})=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{q}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}_q|}.
Explicação: \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo ( \varepsilon_0\approx8{,}854187817\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m}). A distância |\mathbf{r}-\mathbf{r}_q| é a distância entre o ponto onde eu quero o potencial e a posição da carga. Essa fórmula dá o potencial assumindo referência zero no infinito (não há ambiguidade aqui).
  1. Potencial (relativo) devido a uma linha infinita de carga linear \lambda colocada ao longo do eixo x passando por (y_0,z_0) (no nosso caso y_0=1,\;z_0=1):
V_{\text{linha}}(r_\perp)=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\,\ln\!\bigg(\frac{R_{\text{ref}}}{r_\perp}\bigg),
onde r_\perp é a distância perpendicular da reta ao ponto considerado e R_{\text{ref}} é uma constante de referência (porque o potencial de uma linha infinita é definido até uma constante). A fórmula vem de integrar contribuições elementares dV = (1/4\pi\varepsilon_0)\,dq/r ao longo da linha e reconhecendo a simetria cilíndrica. Para diferença de potenciais entre dois pontos A,B essa constante some e obtemos
V_{\text{linha}}(A)-V_{\text{linha}}(B)=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\,\ln\!\left(\frac{r_{\perp,B}}{r_{\perp,A}}\right).
Portanto, a diferença total será
\Delta V = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,q\!\left(\frac{1}{r_A}-\frac{1}{r_B}\right) +\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\,\ln\!\left(\frac{r_{\perp,B}}{r_{\perp,A}}\right),
onde r_A e r_B são as distâncias dos pontos A e B à carga pontual, e r_{\perp,A},r_{\perp,B} são as distâncias perpendiculares de A,B à linha carregada.

Passo 3

Calcular as distâncias do ponto A=(1,2,1) e do ponto B=(-2,5,3) até a carga pontual q em \mathbf{r}_q=(-3,4,0).
  • Para A:
r_A=|\mathbf{r}_A-\mathbf{r}_q| =\sqrt{(1-(-3))^2+(2-4)^2+(1-0)^2} =\sqrt{4^2+(-2)^2+1^2} =\sqrt{16+4+1} =\sqrt{21}.
  • Para B:
r_B=|\mathbf{r}_B-\mathbf{r}_q| =\sqrt{(-2-(-3))^2+(5-4)^2+(3-0)^2} =\sqrt{1^2+1^2+3^2} =\sqrt{11}.
Colocando valores numéricos (para facilitar contas posteriores):
r_A=\sqrt{21}\approx4{,}582575695,\qquad r_B=\sqrt{11}\approx3{,}31662479.

Passo 4

Calcular a contribuição da carga pontual para \Delta V usando
\Delta V_{\text{ponto}}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,q\!\left(\frac{1}{r_A}-\frac{1}{r_B}\right).
Defino a constante k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\approx8{,}987551792\times10^{9}\\ \mathrm{N\cdot m^2/C^2}.
Então
kq = \left(8{,}987551792\times10^{9}\right)\cdot\left(5\cdot10^{-9}\right)=44{,}93775896\\ \mathrm{V\cdot m}.
As inversas das distâncias:
\frac{1}{r_A}\approx0{,}2182178902,\qquad \frac{1}{r_B}\approx0{,}3015113446.
Logo
\Delta V_{\text{ponto}}=44{,}93775896\cdot\big(0{,}2182178902-0{,}3015113446\big) \approx44{,}93775896\cdot(-0{,}0832934544) \approx-3{,}74201024\\ \mathrm{V}.
Interpretação: a carga pontual dá uma contribuição de aproximadamente -3{,}742\\ \mathrm{V} para V(A)-V(B).

Passo 5

Calcular as distâncias perpendiculares de A e B até a linha y=1,\;z=1.
A linha é paralela ao eixo x, logo a distância perpendicular de um ponto (x,y,z) à linha é
r_\perp=\sqrt{(y-1)^2+(z-1)^2}.
  • Para A=(1,2,1):
r_{\perp,A}=\sqrt{(2-1)^2+(1-1)^2}=\sqrt{1^2+0^2}=1.
  • Para B=(-2,5,3):
r_{\perp,B}=\sqrt{(5-1)^2+(3-1)^2}=\sqrt{4^2+2^2}=\sqrt{16+4}=\sqrt{20}\approx4{,}472135955.

Passo 6

Calcular a contribuição da linha carregada para \Delta V usando
\Delta V_{\text{linha}}=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\,\ln\!\left(\frac{r_{\perp,B}}{r_{\perp,A}}\right).
Calculo a constante
\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0} =\frac{2\cdot10^{-9}}{2\pi\cdot8{,}854187817\times10^{-12}} \approx35{,}915\\ \mathrm{V}.
(este valor vem da divisão numérica direta; a unidade resultante é volts pois \lambda/(\varepsilon_0) tem unidades V/m multiplicado por m do logaritmo adimensional).
O logaritmo:
\ln\!\left(\frac{r_{\perp,B}}{r_{\perp,A}}\right)=\ln\!\left(\sqrt{20}/1\right) =\tfrac{1}{2}\ln(20)\approx1{,}497866137.
Então
\Delta V_{\text{linha}}\approx35{,}915\cdot1{,}497866137\approx53{,}794232.

Passo 7

Somar as contribuições das duas fontes (a constante de referência da linha cancela no cálculo de diferença, então não a usamos). Temos
\Delta V=\Delta V_{\text{ponto}}+\Delta V_{\text{linha}} \approx -3{,}74201024\\ \mathrm{V} + 53{,}794232\\ \mathrm{V} \approx 50{,}05222176\\ \mathrm{V}.
Arredondando com sentido prático (duas casas decimais) obtemos
\Delta V \approx 50{,}05\\ \mathrm{V}.
Comentário final: a informação " V=-5\\ \mathrm{V} em (0,0,0)" serve apenas para fixar uma constante absoluta de potencial caso fosse pedida V absoluta; para a diferença \Delta V essa constante se cancela e portanto não afetou o resultado.

Resposta

50{,}05\\ \mathrm{V}

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