Uma carga pontual de 5 nC está localizada em (
), enquanto que uma linha em (
,
) esta carregada uniformemente com
.
Se
em (
), determine a diferença de potencial entre o ponto (
) com relação ao ponto (
).
Se
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede o seguinte:
- Carga pontual
localizada em . - Uma linha (reta) definida por
(ou seja, uma reta paralela ao eixo que passa por ) está carregada uniformemente com densidade linear . - Está informado que
em (valor absoluto no ponto origem). - Pergunta: determinar a diferença de potencial entre o ponto
com relação ao ponto ; isto é, calcular
- Observações importantes (apenas listadas): todos os pontos estão no espaço tridimensional usual; não há figura adicional.
Passo 2
Como a energia potencial elétrica (potencial) é uma grandeza escalar e as fontes são independentes, a contribuição total ao potencial em um ponto é a soma das contribuições de cada fonte. Logo
onde
é uma constante de referência que pode existir para a linha infinita. Porém, ao calcular a diferença
essa constante
desaparece, então não precisamos conhecer
.
Agora as fórmulas que vamos usar (vou explicar cada uma):
- Potencial devido a uma carga pontual
no ponto :
Explicação:
é a permissividade do vácuo (
). A distância
é a distância entre o ponto onde eu quero o potencial e a posição da carga. Essa fórmula dá o potencial assumindo referência zero no infinito (não há ambiguidade aqui).
- Potencial (relativo) devido a uma linha infinita de carga linear
colocada ao longo do eixo passando por (no nosso caso ):
onde
é a distância perpendicular da reta ao ponto considerado e
é uma constante de referência (porque o potencial de uma linha infinita é definido até uma constante). A fórmula vem de integrar contribuições elementares
ao longo da linha e reconhecendo a simetria cilíndrica. Para diferença de potenciais entre dois pontos
essa constante some e obtemos
Portanto, a diferença total será
onde
e
são as distâncias dos pontos
e
à carga pontual, e
são as distâncias perpendiculares de
à linha carregada.
Passo 3
Calcular as distâncias do ponto
e do ponto
até a carga pontual
em
.
- Para
:
- Para
:
Colocando valores numéricos (para facilitar contas posteriores):
Passo 4
Calcular a contribuição da carga pontual para
usando
Defino a constante
.
Então
As inversas das distâncias:
Logo
Interpretação: a carga pontual dá uma contribuição de aproximadamente
para
.
Passo 5
Calcular as distâncias perpendiculares de
e
até a linha
.
A linha é paralela ao eixo , logo a distância perpendicular de um ponto
à linha é
A linha é paralela ao eixo
- Para
:
- Para
:
Passo 6
Calcular a contribuição da linha carregada para
usando
Calculo a constante
(este valor vem da divisão numérica direta; a unidade resultante é volts pois
tem unidades V/m multiplicado por m do logaritmo adimensional).
O logaritmo:
Então
Passo 7
Somar as contribuições das duas fontes (a constante de referência da linha cancela no cálculo de diferença, então não a usamos). Temos
Arredondando com sentido prático (duas casas decimais) obtemos
Comentário final: a informação "
em
" serve apenas para fixar uma constante absoluta de potencial caso fosse pedida
absoluta; para a diferença
essa constante se cancela e portanto não afetou o resultado.